Variabelsubstitution

1. Bestäm ∫(sin^2x)dx genom att skriva om identiteten cos2x = 1 - 2sin^2x

2. Beräkna (e över, 1 under) ∫((1+lnx)^2)/x dx

Jag skriver om det som t = 1+lnx, dt/dx=´1/x <=> dt=dx/x
(e över, 1 under) ∫((1+lnx)^2)/x dx = (e över, 1 under) ∫(t^2)/x dt. Men hörifrån tar det stopp!

3. ∫(sinx/cos^2x)dx

4. Beräkna (1 över, 0 under) ∫(1/(e^x + e^-x)) dx

sin^2(x) = ½(1 - cos(2x))

∫ sin^2(x) dx = ½∫ (1 - cos(2x)) dx = ½( x - sin(x)cos(x) ) + konstant

Subst. ser rätt ut, ser bara ut som ett slarvfel

∫(t^2)/x dt är fel det ska vara ∫(t^2) dt sen måste du sätta in rätt gränser efter subst. det blir alltså från 1 till 2 eftersom x = 1 ⇔ t = 1 och x = e ⇔ t = 2 (om du sätter in det i gränserna på integralen)

2.

§ ((1 + ln(x))^2)/x dx

Låt y = 1 + ln x då är dy/dx = 1/x och integralen övergår i:

§ y^2 * (dy/dx) dx = § y^2 dy

Finn denna och by tillbaka med y = 1 + ln x.

3. § sin(x)/cos(x)^2 dx

Låt z = cos x då är dz/dx = -sin x <=> sin x = -dz/dx ger att det övergår i:

§ (-dz/dx)/z^2 dx = - § dz/z^2

Finn denna och byt tillbaka till z = cos x.

4.

§ 1/(e^x + e^(-x)) dx = § e^x/(1 + e^(2x)) dx

Låt s = e^x då är ds/dx = e^x och e^(2x) = s^2 integralen övergår i:

§ (ds/dx)/(1 + s^2) dx = § ds/(1 + s^2)

Finn och byt tillbaka till s = e^x med gamla gränser. Alternativt evaulera med de nya gränserna bara direkt, den nya går från 1 till e.