Räkna ut (1 + i)^n för n = 0, 1, 2, ...

Ja, som rubriken säger:
Räkna ut (1 + i)^n för n = 0, 1, 2, ...

Blir mycket tacksam för svar.

Så långt jag kom:
Om z = 1 + i så söker vi z^n
z = 1 + i = 2^(1/2) * e^(iv) = 2^(1/2) * (cosv + isinv) ⇒

(1)
2^(1/2) * cosv = 1 ⇔ v = +- π/4 + 2πk och
2^(1/2) * sinv = 1 ⇔ v = π/4 eller v = π - π/4 + 2πk

(2)
Alltså v = π/4 + 2πk ⇒
z = 2^(1/2) * e^(i(π/4 + 2πk)) ⇔ z^n = 2^(n/2) * e^(ni(π/4 + 2πk))
För n ∈ ℕ

Då tänkte jag att det var löst.. men i facit har dom en fall uppdelning på 8 olika fall. Whaaat??
Förövrigt så har dom också skippat att ta med periodiciteten redan i (1). Varför?

Man behöver inte ta hänsyn till periodiciteten när det är en heltalexponent, då man via perioden kommer att lägga till 2π gånger ett heltal (som i sig är ett heltal gånger ett heltal, i ditt fall n·k) till argumentet, vilket som bekant inte gör någon skillnad.


När du kommer fram till att (1+i)ⁿ = (√2)ⁿ·exp(n·iπ/4) så vill de att du ska dela upp det i att n = 0, 8, 16..., i att n = 1, 9, 17..., n = 2, 10, 18... osv. Detta beror på att för dessa enskilda följder av tal blir argumenten lika, dvs. gäller t.ex. exp(1·iπ/4) = exp(9·iπ/4) eftersom argumenten är lika bortsett från en heltalsmultipel av 2π.

Tack så mycket, hänger med! Men hur blir svaren för de olika n:en?
n = 0, 8, 16,... ger ju t.ex. svaren (√2)ⁿ·exp(n·iπ/4) precis som om n skulle vara ett annat heltal?

När man multiplicerar komplexa tal så adderar man argumenten. Hjälper det dig något? Du har alltså åtta olika argument att ta hänsyn till, där alla har (√2)ⁿ som belopp.

Du ska förenkla detta, och tydligen vill de att du ska falluppdela. Exempel: n=4,12,20... , så att n = 8k + 4 för något heltal k, ger (√2)ⁿ·exp(n·iπ/4) = 2^((8k + 4)/2)·(-1) =-2^(4k + 2) medan n=5,13,21... = 8k + 5 ger 2^(n/2)·exp(5π/4) = 2^((8k + 5)/2)·(-1-i)/√2 = (-1-i)·2^(4k + 2)

Jag tycker ärligt talat att det räcker gott och väl med ditt svar på polär form men författarna av din bok vill tydligen annorlunda.