Hur ser ekvationen ut?

Jag undrar om någon möjligtvis kan hjälpa mig med att ta reda på hur ekvationen på följande problem ser ut. Jag känner själv inte till svaret (om det nu alls finns något svar), men det känns spontant som det borde vara möjligt att lösa.

Tänk dig att du har X lådor och Y bollar. Alla Y bollar skall i lådorna. En låda får innehålla mellan 0 och 9 bollar. Hur många olika kombinationer kan man då få fram?

Exempel #1: (3 lådor och 4 bollar)
004
040
400
130
310
103
301
013
031
211
112
121
022
220
202

Exempel #2: (2 lådor och 10 bollar)
91
82
73
64
55
46
37
28
19

Jag skapade ett datorprogram snabbt och enkelt som åtminstone visar mönstret, men frågan är alltså vad ekvationen är.

(Till vänster om likamedtecknet är antal bollar och till höger antal möjliga kombinationer.)

1 låda
0 = 1
1 = 1
2 = 1
3 = 1
4 = 1
5 = 1
6 = 1
7 = 1
8 = 1
9 = 1

2 lådor
0 = 1
1 = 2
2 = 3
3 = 4
4 = 5
5 = 6
6 = 7
7 = 8
8 = 9
9 = 10
10 = 9
11 = 8
12 = 7
13 = 6
14 = 5
15 = 4
16 = 3
17 = 2
18 = 1

3 lådor
0 = 1
1 = 3
2 = 6
3 = 10
4 = 15
5 = 21
6 = 28
7 = 36
8 = 45
9 = 55
10 = 63
11 = 69
12 = 73
13 = 75
14 = 75
15 = 73
16 = 69
17 = 63
18 = 55
19 = 45
20 = 36
21 = 28
22 = 21
23 = 15
24 = 10
25 = 6
26 = 3
27 = 1

4 lådor
0 = 1
1 = 4
2 = 10
3 = 20
4 = 35
5 = 56
6 = 84
7 = 120
8 = 165
9 = 220
10 = 282
11 = 348
12 = 415
13 = 480
14 = 540
15 = 592
16 = 633
17 = 660
18 = 670
19 = 660
20 = 633
21 = 592
22 = 540
23 = 480
24 = 415
25 = 348
26 = 282
27 = 220
28 = 165
29 = 120
30 = 84
31 = 56
32 = 35
33 = 20
34 = 10
35 = 4
36 = 1

5 lådor
0 = 1
1 = 5
2 = 15
3 = 35
4 = 70
5 = 126
6 = 210
7 = 330
8 = 495
9 = 715
10 = 996
11 = 1340
12 = 1745
13 = 2205
14 = 2710
15 = 3246
16 = 3795
17 = 4335
18 = 4840
19 = 5280
20 = 5631
21 = 5875
22 = 6000
23 = 6000
24 = 5875
25 = 5631
26 = 5280
27 = 4840
28 = 4335
29 = 3795
30 = 3246
31 = 2710
32 = 2205
33 = 1745
34 = 1340
35 = 996
36 = 715
37 = 495
38 = 330
39 = 210
40 = 126
41 = 70
42 = 35
43 = 15
44 = 5
45 = 1

Skulle nog lösa det problemet med kombinatorik

http://sv.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik

Löste liknande uppgifter för ett tag sen med detta, och det var inte så himla svårt. Har dock glömt en del utav den diskretkursen, så kan inte direkt säga mera utan att få titta i mina gamla böcker ^^

Det som ställer till det är kravet på att det inte får vara fler än 9 bollar i varje låda.

Utan denna restriktion kan valet göras på X+Y-1 över Y-1 sätt.

För att komma till rätta med 9-problemet får man dra bort de lösningar som har fler än 9 bollar i någon låda.

Lägg således 10 bollar i en låda, detta kan göras på Y sätt. Placera övriga Y-10 bollar godtyckligt som förut. Detta kan nu göras på X+T+1-10 över Y-1 sätt.

Det finns alltså Y*(Y-1+X-10 över Y-1) sätt där en låda innehåller mer än 10 bollar

Om det dock finns fler än 20 bollar riskerar två lådor att bli fulla, då kommer man dubbelräkna lösningarna i termen ovan och dra bort för mycket. Man måste alltså lägga tillbaka dessa dubbellösningar med två fulla lådor. De kan beräknas på motsvarande sätt genom att man först väljer två lådor att fylla med 10 bollar var och fyller resten godtyckligt.

Det finns då (Y över 2)* (Y-1+X-20 över Y-1) sådana lösningar

Den allmänna formeln blir nu

(X+Y-1 över Y-1) - (X>9)Y*(Y-1+X-10 över Y-1) + (X>19)(Y över 2)* (Y-1+X-20 över Y-1) - (X>29)(Y över 3)* (Y-1+X-30 över Y-1) + ...

Där (n över k) = n! / ( k! (n-k)!)
k! = k*(k-1)*(k-2)*...*2*1
(x>9) = 1 om x>9 och 0 annars

Det vill säga ju högre X är desto fler termer måste tas med.

EDIT: Möjligt att svaret går att uttrycka på en mer kompakt form, kommer dock inte på hur i nuläget

Tack så mycket!