Till synes paradoxalt vektorfält

Så, vi fick en liten paradox att klura på. Jag löste uppgiften och fick ut potentialfunktionen och vet rent matematiskt varför paradoxen uppstår, men jag vill ha en fysikalisk tolkning av den. Har spånat lite på singulariteter osv. men har inte kommit fram till något som jag blir nöjd med.

Potentialfunktionen är: Φ(x,y)=(-arctan(x/y), arctan(y/x)

Någon som kan hjälpa?

Kan du inte delge oss den ursprungliga problemformuleringen i stället? Är Φ en skalärpotential? Den ser ut att vara skriven som en vektor nu, och så måste det saknas en parentes.

F=(-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2))

och ja, det saknas en parantes

Är det uppgiften att finna potentialen till detta vektorfält? Ditt Φ verkar vara ett vektorfält i sig, men den bör vara ett skalärfält.

Och potentialen som uppfyller F = -grad φ är φ = -θ + C, där θ är vinkeln från x-axeln till punkten.

Paradoxen är att φ är flervärd och ökar med 2π för varje varv?

Förklara paradoxen, och även varför I måste få (I=2pi) just det värde det får och inget
annat, genom att identifiera (och tolka!) den potentialfunktion Φ(x, y) vars gradient är
lika med F. (Ledning: Det kan underlätta att identifiera de kurvor (⊥ ∇Φ) längs vilka Φ
har konstant värde - de s.k. ekvipotentiallinjerna.)

Det är den sista delen av uppgiften, Integralen (I) är sluten kurva, en cirkel som har radien 1, vilket ger ett värde på 2pi vilket är en paradox eftersom man tidigare har visat att det är ett konservativt fält.

Japp, men jag vill ha en fysikalisk tolkning.

Som Bromskloss säger så ska ditt φ vara ett skalärfält.

Men rent "fysiskt" tror jag att följande kan ge en bild av varför paradoxen uppstår:

Tänk dig fältet som ett flöde; t.ex. vatten som flyter runt, med hastighet som ges av F(x,y) i varje punkt.

Då mäter ∇×F rotationen av F, som namnet antyder, det vill säga i vilken mån vattnet "virvlar runt" en viss punkt. Vi vet då att om rotationen är noll överallt, så kommer integralen av fältet längs en sluten kurva vara 0, det vill säga fältet är konservativt.

Paradoxen är att ∇×F = 0 överallt för ditt fält, men integralen längs slutna kurvor är inte alltid 0. Lösningen är, som du säkert redan kommit fram till, att ∇×F = 0 inte alls gäller överallt, ty det gäller inte vid origo.

Rent "fysiskt" kan man se det här om man ritar upp pilarna längs med vattnet flödar; man kan se att det åker runt runt i koncentriska cirklar, men flödar snabbare och snabbare ju mindre radien är. (Det är 1/(x² + y²)-delen som gör detta.) Detta gör att det blir en enda virvel i origo, där vattnet strömmar runt jättejättefort.

Det är alltså denna rotation, bara i origo, som gör att hela flödet "snurrar" runt origo, och därför blir inte integralen av flödet längs med en sluten kurva som omsluter origo inte noll.

Tackar, tackar.

Vattnet är inte en tillräcklig beskrivning för ett fysikaliskt fenomen då de inte kan rotera "oändligt fort" har suttit o spånat på det i timmar. Kan det inte vara rörelsemängdsmomentet för en singularitet som beskrivs av fältet?

Hur menar du rörelsemängdsmoment av en singularitet? På vilket sätt beskriver ett fält ett rörelsemängdsmoment?

Som jag ser det så är ditt fält redan "ofysiskt" eftersom det har en singularitet; men som vanligt så kan vi tolka vi det som att singulariteten är en approximation, ett idealiserat gränsfall för ett riktigt fysiskt fenomen.

Precis som dbshw säger är väl hela poängen att det är ofysikaliskt. Vi kan ta ett exempel.

I typ II-supraledare är Meissnereffekten inte fullt utvecklad över en kritisk magnetisk fältstyrka och man kan observera att magnetiskt flöde kan penetrera supraledaren även i det supraledande tillståndet. Genom att ex. strö små järnspån över supraledarens yta som lägger sig längs flödeslinjerna och koncentreras i regioner av högt magnetiskt flöde ser man att magnetiskt flöde penetrerar supraledaren i små separerade områden ordnade i ett (vanligtvis) hexagonalt mönster. Områden där flödet penetrerar supraledaren kallar vi vortexar. Genom att använda grundläggande fysik för supraledare samt Amperes lag kan man härleda att vi har en superström (en ström av parade elektroner) runt vortexens centrum som för små avstånd r till centrum har beroendet

Js ~ φ^/r

där φ^är enhetsvektorn i azimutal riktning. Precis som i ditt exempel har vi ett vektorfält (ström i detta fall) med en singularitet i mitten. Istället för att säga att något måste vara fel på hela modellen eftersom den leder till en ofysikalisk singularitet utnyttjar man detta faktum och säger att det måste finnas en cut-off för r, under vilken inga superströmmar flödar. Om inga superströmmar flödar måste alltså vortexen ha en kärna av normalledande material. Verkar detta rimligt? Ja, eftersom hastigheten på de parade elektronerna ökar när r → 0 och till slut blir deras kinetiska energi större än bindningsenergin och parens bryts upp vilket förstör supraledningen. Vi kan på detta sätt uppskatta kärnans radie

En enkel analys som denna visar sig stämma ganska väl överens med resultat från den mikroskopiska BCS-teorin.