spegling av punkt i linjär algebra

beräkna spegelbilden av P: (1,1,6) i planet π: 2x+2y+z=1

jag gör såhär:

väljer Q=(en punkt i planet)=(0,0,1)

beräknar v=QP=(1,1,6)-(0,0,1)=(1,1,5)
projicerar v på planets normalvektor, n=(2,2,1)

v'=(projektionen)=(v*n/|n|²)*n=(2,2,1)

vidare

P'=(spegelbilden av P)=v-2v'=(1,1,5)-2*(2,2,1)=(-3,-3,3)

enligt facit ska det bli (-3,-3,4).... någon som kan se vad jag gör fel?

Jag orkar inte felsöka, men såhär hade jag löst uppgiften:

Vi säger att (1,1,6) + t(2,2,1) = (1+2t , 1+2t , 6+t) ligger i planet och bestämmer t genom att helt enkelt slänga in detta i planets ekvation:

2(1+2t) + 2(1+2t) + 1(6+t) = 1

2 + 4t + 2 + 4t + 6 + t = 1

9t = -9

t = -1

Då har vi alltså nått den punkt på planet som ligger mitt mellan vår punkt P och dess spegling, P'. Vi går dubbla sträckan i samma riktning och når den speglade punkten:

P' = (1,1,6) + 2t(2,2,1) = (1,1,6) - 2(2,2,1) = (-3,-3, 4)

det fetmakerade i din lösning hänger jag inte alls med på.. punkten (1,1,6) ligger väl inte i planet? hur kan då den linjen göra det?

Jag uttryckte mig slarvigt och syftade på en specifik punkt på linjen. Linjen är vinkelrät mot planet, riktningsvektorn är ju normalvektorn till planet.

Sen får du nog fundera på vad du gör när du tar v-2v', det ger ju en vektor och ingen position.

Som sagt här ovan. Det är ju vektorn QP' du räknar ut.

QP' = v - 2v'

Det du söker är ju "vägen" från origo till P', dvs OP'.

OP' = OQ + QP'

Edit: Rita bild!

jaa, det har ni rätt i!

så om origo legat i planet och jag valt Q: (0,0,0) hade min lösning fungerat också?

I princip, ja. Du lär ju hålla koll på vad du räknar ut genom att rita bilder.
Då hade du ju fått eftersom Q = O att

OP' = QP' = v - 2v'