Linjeintegral.

Det finns ett elegant sätt att finna potentialfunktionen f till vektorfältet A.

Parametrisera randkurvan γ i variabeln t på intervall I, samt skriv ut integranden i kurvintegralen.
Beteckna med D det område till vilket γ är randkurvan.
Då fås:

∫A(r) . dr = ∫[A₁(x(t))*dx₁/dt+A₂(x(t))*dx₂/dt+A₃(x(t))*dx₃/dt]dt
γ...............I

Problemet är att avgöra om det existerar en funktion f sådan att A_i(x) = ∂f/x_i ∀x∈D.
Eller med tidigare formalism: A = ∇f ∀x∈D

Här kan Poincare´s lemma användas.

Om det för alla x i ett konvext* område D gäller: ∂A_i/∂x_j = ∂A_j/∂x_i {i,j olika samt i,j∈(1,2,3)} , så existerar en funktion f(x) sådan att A(x) = ∇f ∀x∈D.

Poincare´s lemma brukar ofta formuleras i differentialformer (här första ordningens):
om ω = A₁dx₁+A₂dx₂+A₃dx₃ är en sluten differentialform (dvs uppfyller ∂A_i/∂x_j = ∂A_j/∂x_i) i ett konvext område D, så är ω exakt i D.

*:Ofta anges att området D ska vara "konvext","stjärnformat","ej punkterat" eller "enkelt sammanhängande". Detta är av största vikt i beviset av satsen. Om området är t.ex. punkterat så behöver inte en sluten differentialform vara exakt där!

Se t.ex. http://en.wikipedia.org/wiki/Closed_...low_dimensions


Såvida jag nu inte trampat i klaveret igen...

EDIT: hittade ett par gamla inlägg på temat
https://www.flashback.org/sp22905795
https://www.flashback.org/sp26222073