Linjeintegral.

Hej,
Behöver lite hjälp med att lösa detta problem:

Beräkna ∫<c> A(r)dr där A(x,y,z) = (y/z,x/z,-xy/z²) och c är en styckvis slät kurva fån r1=(1,1,1) till r2=(2,-1,3) som inte passerar ytan z=0.

Jag antar att r1 och r2 är till för att kunnaa räkna ut dr och sedan multiplicera det med A(r) för att få integralvärdet. Men hur manipulerar man r1 och r2?

Nej, du måste först hitta en kurva från r1 till r2, och integrera längs med denna. Exakt vilken du tar spelar ingen roll (visar det sig) så länge inte kurvan korsar planet z=0. Men beroende på vilken kurva du väljer kan det förstås vara olika lätt eller svårt att lösa integralen.

Ett annat alternativ är att hitta ett f definierat på det övre halvrummet z > 0 så att A = ∇f; i så fall ges integralen av f(r_2) - f(r_1). (Och detta kan man bevisa med hjälp av integralkalkylens huvudsats.)

Och det visar sig också att (i ett enkelt sammanhängande område) är det så att om ∫A(r).dr inte beror på vilken kurva man väljer mellan r_1 och r_2, så går det alltid att hitta ett f så att A = ∇f.

jag förstår. va bra!

Man kan se att A(x, y, z) = (∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y, ∂ψ/∂z), där ψ = xy/z.

Detta gör att ∫ A(r) dr = ∫ dψ = ψ(r2) - ψ(r1) = 2*(-1)/3 - 1*1/1 = -2/3 - 1 = -5/3.

Ok jag är med på det nu, men funderar på hur man skulle lösa problemet om det inte går att hitta en lösning A = ∇f.
I fallet A = (2-y,-xy,1) till exempel ser jag ingen lösning. (tror att detta betyder att vektorfältet ej är konservativ).
Men om jag vill beräkna linjeintegralen av vekotrfältet längs vägen säg (0,0,0,)-->(1,2,5)
hur gör jag då?

Då beror det på vilken väg du tar från (0,0,0) till (1,2,5).

Om du t.ex. parametriserar vägen som γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), så att (x(0), y(0), z(0)) = (0,0,0); (x(1), y(1), z(1)) = (1,2,5), så ges integralen längs med vägen av

∫_γ A(r) . dr = ∫_{t=0}^1 A(x(t), y(t), z(t)) . (x'(t), y'(t), z'(t)) dt

Jag får inte ihop det sista. Vad blir A(x(t), y(t), z(t)) och mellan vilka gränser går t?

t går från 0 till 1 (men detta förutsätter att parametriseringen är sådan att t=0 svarar mot startpunkten och t=1 mot slutpunkten.

Jag ser A som en funktion av x, y, z; i ditt fall

A(x, y, z) = (2-y,-xy,1).

Då är A(x(t), y(t), z(t)) = (2 - y(t), -x(t)y(t), 1) och alltså en funktion av bara t.

x(t), y(t) och z(t) är koordinaterna för parametriseringen av kurvan γ.

Och men jag förstår fortfarande inte hur det är tänkt at man ska lösa ut (x'(t), y'(t), z'(t)) då?

Man deriverar funktionerna x, y och z, eller hur menar du?

Funktionerna x, y och z väljer man ju själv.

Kan jag bara sätta x=t, y=t, z=t?

Nej, för är inte (x(1),y(1),z(1)) = (1, 2, 5).

Det vill säga, du ska alltså se funktionerna x, y och z som att de hänger ihop, och tillsammans beskriver en rörelse från startpunkten till ändpunkten, och där ens position vid "tid" t är (x(t), y(t), z(t)).