Oändlighet delat i oändlighet

Alltså, dessa är ju inte olika oändligheter du räknar upp. Det finns bara en oändlighet, och det är korrekt att t.ex. lim(x->∞) e^x = lim (x->∞) 2x = ∞. Det man gör med gränsvärden av kvoter är undersöker hur snabbt olika uttryck går mot oändligheten.

Uttrycket ∞/∞ är inte definierat, ty om du definierade ett värde på det skulle du kunna härleda nonsens (eftersom vanliga räkneregler inte gäller för ∞, eftersom det inte är ett äkta tal).

Nej det finns olika stora oändligheter.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kardinaltal
http://sv.wikipedia.org/wiki/O%C3%A4ndligheten
Kan läsa lite mer om det här. Ett bra exempel är mängden av alla heltal jämfört med mängden av alla reella tal.

Ett äkta tal är det i någon mening, dock är det inget reellt tal.

Kardinaliteten av mängden av alla heltal/reella tal, ska det vara.

I allmänhet är ∞/∞ odefinierat, simpelt nog. Det behövs inga avancerade exempel för det.
x²/x = x → ∞, x → ∞
x/x = 1 → 1, x → ∞
x/x² = 1/x → 0, x → ∞
Här går varje komponent i täljare och nämnare mot ∞ då x → ∞. Om "∞/∞" ska vara definierat enligt samma princip som man definierar t.ex. ∞·∞, ∞ + ∞ eller ∞^∞ måste nödvändigtvis alla typer av gränsvärden lim x→∞ f(x)/g(x), där f och g går mot ∞ då x går mot ∞, ha samma gränsvärde. Men enligt ovanstående motexempel är så inte fallet. Slutsatsen blir således att ∞/∞ inte kan definieras på ett nöjaktigt sätt.

Eller för att förklara, med ett exempel, att ett uttryck där man sätter en oändlighet mot en annan inte går att definiera: om något rör sig med oändligt låg hastighet i oändligt lång tid, hur långt har det då rört sig? oändligt kort? oändligt lång? någonstans där i mellan? odefinierat!

Tack

Väcker den här tråden till liv igen med en fundering. ∞ dividerat med ∞ är odefinierat som sagt. Detta för att det inte går att veta hur snabbt ∞ i täljaren/nämnaren går mot ∞ jämfört med varandra. Det jag har hakat upp mig på är att det helt plötsligt kom in en ytterligare dimension i matematiken trots att det vi arbetar med är tvådimensionellt? Någon som kan förklara det här för mig eller som ser det annorlunda?

Det är odefinierat för att ∞ inte är ett tal och operationen division funkar bara på tal.

Vadå för ytterligare dimension? Vad är tvådimensionellt?

Ok, jag är med på att ∞ inte är ett tal. Min lärobok sa att ∞/∞ ej är definierat eftersom man inte kan definiera hur snabbt de går mot ∞ (och ja, detta för att ∞ inte är ett tal). Jag kunde inte förstå vad som menades. Tror att jag förstår nu att det bara handlade om olika uttrycks storlek relativt varandra .

Det är ganska olyckligt att försöka definiera hur snabbt ∞ går mot ∞ eftersom ∞ är ∞. Det vore likvärdigt med att försöka definiera hur snabbt 1 går mot 1.

Det dom säkert menar är som många redan sagt att x^3 exempelvis går mot ∞ "snabbare" (ordet har en viss betydelse här) än x^2, om vi låter x gå mot ∞. Men att applicera detta fenomen på ∞ själv är alltså helt efterblivet och din bok har rent ut fel om den påstår detta!

Haha ok, då är jag med. Blev en aning förvirrad tidigare...

Här stöter vi på ett problem. Hur ska vi egentligen tolka “ ∞/∞ “ ? Uttrycket indikerar att både ∞
täljare och nämnare går mot oändligheten, men vi har ingen aning hur snabbt de går mot oändligheten jämfört med varandra.

Pedagogiken slog fel

Division med oändlighet? Jag tror ni går saker i förväg. Kan ni dela saker i 2?
Om jag har två mängder A och B så att det finns en bijektion mellan {0,1}xA och {0,1}xB, finns det en bijektion mellan A och B? Kan ni dela saker i 3? i 4? Kräver era bevis urvalsaxiomet eller någon annan mystik?

Det är ju ett välvilligt försök men det blir gärna fel rent matematiskt om man försöker förenkla det för mycket. Som Einstein sa så ska det vara så enkelt som möjligt, men inte enklare.

Hur som helst; är man osäker på vad som menas med "oändlighet" kan man nästan alltid ersätta det med "gränslöst" eller liknande. Till exempel är det lätt att misstolka "det finns oändligt med heltal," bättre då att säga att antalet heltal är gränslöst. Om något växer mot oändligheten så är det bättre att se det som att det växer utan gräns och så vidare. Då borde det vara mer lättsmält att gränslöst/gränslöst inte betyder nånting dessutom! Win-win.