Relativistisk mekanik

Okey, har lite problem med intron till lagrangian formalismen här..
Författaren skriver först och främst:
"... this integral [verkans integralen] must not depend on our choice of reference system, that is, it must be invariant under Lorentz transformations. Then it follows that it must depend on a scalar."
Varför?

Sedan skriver han att detta ger ds -- > α ds vilket ger oss verkans integralen:

"S = - α ∫ ds".

Okey! Här har jag nog missat något fundamentalt i SR antar jag.. Lagrangianen är ju ett skalärfält i rummet med alla q och (d/dt q) som baser. Banan för partikeln skall ge ett minimum (eller i vissa fall max) när den integreras i tidsintervallet... Borde vi inte använda
dt -- > α dt istället?




Om det underlättar kommer han senare visa att α = mc för en fri partikel..

Tack.

En fri partikel färdas i en rät linje i rumstiden. Antagandet att verkansintegralen är given av vägintegralen i rumstiden är då rimlig. Man vill alltså minimera banlängden i rumstiden. Eftersom s har enheten längd måste vi lägga till en multiplikativ konstant α för att få rätt dimension på verkansintegralen. Vidare ska verkansintegralen vara Lorentzinvariant och då ∫ds är lorentzinvariant måste även α vara det. Kollar man på dimensionerna finner man att dimensionen ska vara massa gånger hastighet. De enda parametrar som är Lorentzinvarianta med dessa dimensionerna är vilomassan och ljusfarten. Man kan sedan visa att α = mc är rätt val genom att räkna igenom något exempel.

Notera dock att s = cτ där τ är egentiden så du kan se det som en integral över tid om du vill. Väljer man sedan ett visst koordinatsystem kan vi skriva dτ = √(1 - (dx/dt)²/c²)dt och du får till slut en integral över tid i något specifikt (icke-accelererande) koordinatsystem. Lagrangianen blir då
mc²√(1 - (dx/dt)²/c²) (eller med ett annat tecken) för en fri partikel.

Fråga:
Borde det inte vara: dτ = 1/√(1 - (dx/dt)²/c²)dt?

Nej. Se exempelvis här: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_time. Tidsintervallet blir längre för observatören som inte följer med rörelsen - tidsdilatation.

I ett berömt experiment med kosmiska myoner mätte man skillnad i myonintensitet mellan toppen av ett berg och havsnivå. I vila har den kosmiska myonen en halveringstid innan den sönderfaller på Δτ. Mäter man myonernas hastighet kommer man fram till att tiden mellan toppen av berget och havsytan t = s / v är flera halveringstider. Alltså borde myonintensiteten vara mycket lägre vid havsytan eftersom de flesta borde ha sönderfallit. Istället fann man att intensiteten bara var måttligt lägre. Detta beror på att myonen färdades snabbt och dess halveringstid ur de stationära experimentalisternas perspektiv var Δt = Δτ / √(1 - v² / c²) vilket var ca 10 ggr större än halveringstiden i vila Δτ. Tidsdilatationen gör alltså att myonerna hinner ned innan de "dör".

Okej! Tack för ett schysst svar