Riemannintegralen

behöver hlp/(eller tips på hur jag kan tänka) med denna övning, Tack!
http://www.pluggakuten.se/wiki/images/8/81/1234345.png

Du har inte definierat över- och underintegralerna.

Du har dessutom missat litet i definitionen av trappfunktion, så även i definitionen av integralen av trappfunktion.

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/9/9b/In-1.jpg

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/5/50/In-2.png

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/5/5d/In-3.jpg

Vad menas med över- och underintegraler? De definitionerna har du inte tagit med.

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/5/58/Nn1.jpg

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/c/ce/Nn2.jpg

Om f är ett trappfunktion, ingår f bland de Φ och Ψ som bygger mängderna A resp B i ekv. (13).
Därför blir underintegralen L(f) lika med trappfunktionsintegralen I(f) (def. i ekv. (8)) och likaså blir överintegralen U(f) lika med I(f).
Därmed är L(f) = U(f) och Riemannintegralen R(f) är alltså definierad för f.
Och då L(f) och U(f) inte bara är lika, utan även lika med I(f), blir R(f) = I(f).

varför? det är det som jag inte kan förstå?

Förstår du hur mängderna A och B bildas?

det bildas väl genom trappfunktioner. arean av trapfunktioner är I(f). trappfunktionerna är konstanterna, vilket gör att arean blir arean av rektangel. alltså I(f)=C(b-a), där D_f=(a,b)-

På sätt och vis... Men jag anar att du har en diffus förståelse för A.

Mängden A består av alla möjliga värden som integralen av undertrappfunktioner till f antar.

Några punkter du bör försöka förstå en efter en:

• Eftersom f är en trappfunktion, är f en undertrappfunktion till sig själv.
• Därför ingår trappfunktionsintegralen I(f) i A.
• Alla andra värden i A är lägre än trappfunktionsintegralen I(f).
• Alltså är sup A = I(f)

men det är väll vad mängden A kan maximalt vara. Men i många fall så är väl undertrappfunktioner<A, därför att arean av undertrappfunktionen är alltid mindre än arean för funktionen f i ett interval (a,b). om man delar in (a,b) i oändliga indelningar så kan jag tänka mig att undertrappfunktionenen börja gå mot grafens area. tänker jag rätt?

Ja och nej...

Eftersom A utgörs av integralerna av trappfunktioner som ligger under f kan värdena inte bli större än trappfunktionsintegralen I(f). På så sätt är svaret ja.

Men... Kom ihåg att i denna övning är f en trappfunktion. Och naturligtvis gäller f ≤ f. Alltså ingår trappfunktionen f bland de trappfunktioner som ligger till grund för A. Därmed ingår trappfunktionsintegralen I(f) i A. Allmänt, om inf A ≤ M och M Є A, så gäller inf A = max A = M. I vårt fall är M = I(f). Alltså, L(f) = I(f), där I(f) är trappfunktionsintegralen av f.


Vad menar du med < A ? Är A mängden från definitionen?


Pratar du om uppgiften där f själv är en trappfunktion, eller pratar du om allmänna f nu? Om f är en trappfunktion finns en undertrappfunktion (nämligen f själv) som ger samma trappfunktionsintegral som f, och dessutom samma Riemannintegral som f (vilket är vad du skall visa i uppgiften).


Det är förstås det som är idén bakom Riemannintegralen, men samtidigt går det inte att ha med detta i ett matematiskt resonemang, eftersom "grafens area" (egentligen arean under grafen) är just vad vi försöker definiera. För övrigt, när du talar om arean, utgår du från att f ≥ 0. I definitionen är detta dock inget krav.