martingales och markovkedjor

Dags för tenta snart och som vanligt har man inte pluggat så mycket som man borde ha gjort. När det kommer till Martingales och Markovkedjor är jag helt aningslös. Boken jag har är ganska svårbegriplig och abstrakt (Probability av Shiryaev) så har ingen nytta av den överhuvudtaget. Jag gör den här tråden för att få hjälp med att förstå principen om dessa begrepp.

Martingales
Från wikipedia har vi definition


Vad mer är det jag behöver veta? Och framförallt, hur tillämpar jag detta?

Markovkedjor

Definition från wikipedia


Samma sak här.

Om någon har lite pedagogiska förklaringar eller något länktips vore det verkligen uppskattat.

Detta kanske ger lite förståelse.

Ex: det finns 3 vädertyper: sol, nederbörd, mulet. Xi= dagar

Maringales: Den stösta sannolikeheten för vilket väder det blir i morgon är att det är samma väder som idag.

Markovkedjor: Om vi vlill vi beräkna sannolikheten för vilket väder det ska bli imorgon är det ej relevant att ta hänsyn till vädret igår, det är bara vädret idag som behövs i beräkningen.

OBS.Exemplet med vädret stämmer givetvis inte i verkligheten.

Tack, det var väl ganska bra exempel.

Ballot theorem

Let η_1, …, η_n be a sequence of independent identically distributed random variables whose values are nonnegative integers, S_k = η_1 + … + η_k, 1 ≤ k ≤ n. Then

P(S_k < k for all k | S_n) = max((1-(S_n)/n),0)

Hur ska jag tolka detta i ord? Förutsatt en summa S_n av slumpvariabler så är sannolikheten, att delsumman S_k mindre än index k, antingen 1 minus medelvärdet av S_n eller 0? Detta betyder alltså att om det inte finns någon slumpvariabel som antar 0 är det omöjligt att S_k < k?

Stämmer det du säger om markovkedjorna verkligen? Jag tolkar:

Markov chain is a sequence of random variables X1, X2, X3, ... with the Markov property, namely that, given the present state, the future and past states are independent.

Ergo: Varken gårdagens eller morgondagens väder har någonting att göra med nuvarande väder.

Ballot theorem känner jag inte igen, men var inte så seriös heller under 'stokastiska processer'.

Men av vad du skrivit så:
Vi tänker oss en slump serie (icke negativ):

0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 .

n=10

S_n= 3.


S_k= (0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3), den kumulativa serien för alla k.

P(S_k<k | S_n=3)= max ( (10 - 3)/10 ; 0 ) = 7/10.

Sannolikheten att S_k är mindre än k är: 7/10, givet att S_10=3, för alla k=1..10.

Kan tyvärr inte komma på nåt exempel för tillfället.

Future and past are independet.

Morgondagens väder har inget att göra med gårdagens, men vädret idag har. jo det stämmer.

Hm, aha, ja jag läste/tolkade fel. Jag tolkade det som att de båda var independent till dagens väder.

Låt oss tänka oss en annan:

100 101.

n=2

S_n= 201.


S_k= (100,201), den kumulativa serien för alla k.

P(S_k<k | S_n=201)= max ( (2 - 201)/2 ; 0 ) = 0.

Sannolikheten att S_k är mindre än k är: 0, givet att S_2=201, för alla k={1,2}.

Ledsen om jag slösade bort din tid genom att posta dessa, för jag fattar inte så mycket själv.

Enligt http://en.wikipedia.org/wiki/Bertran...heorem#Example så kan man använda det vid tex rösträknnig, men där ser det lite annars ut.

Tack för all hjälp Gluff75. Till min stora lättnad behövde jag inte kunna detta!