Vektoranalys-tråden

Jag frågar för mycket om vektoranalys tycker jag (så går det om man inte går på lektionerna och inte räknar något uppgift förrän veckan innan tentan ), så jag kan lika gärna göra en tråd. Andra är också välkomna...

Första problemet:
Bestäm flödet av vektorfältet A(x,y,z)=y^2 x_hatt + 2xy y_hatt, ut genom sfären x^2+y^2+z^2=3+4x+2y+2z.

Först förenklar jag sfären till:
(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=9

Parametriserar den:
x=3cos(φ)sin(θ)+2
y=3sin(φ)sin(θ)+1
z=3cos(θ)+1

Sedan använder jag Gauss sats för att få ut integralen på divergensn av A, där
div(A)=0+2x+0=2x
så
2*int(x dxdydz) = 2*int((3cos(φ)sin(θ)+2))r drdφdθ

r integreras till r^2/2, och insättning av 1 respektive 0 ger 1/2,
int((3cos(φ)sin(θ)+2) dφdθ,

integrera med avseendepå θ ger
[-3cos(φ)cos(θ)+2θ], med insättning av pi och 0 fås:
int(6cos(φ)+2pi)dφ = [6sin(φ)+2piφ], insättning av 2pi och 0 fås:
2pi*2pi=4pi^2,
men svaret skall vara 144pi

Var gör jag fel? :S

Jacobianen är r²sin θ, inte r. Alltså

dxdydz = r²sinθ drdθdφ.

Dessutom är

x = 3rcos⌴φ sin θ + 2

(eftersom du parametriserar insidan av sfären och inte bara ytan.)

just det... Kom dessutom på att jag satte in r som 0-1, men det skall juvara 0-3 -_-

Så får 144pi nu

Tack , återkommer säkert snart igen mednågot nytt pinsamt

Nästa uppgift...

Beräkan flödet av vektorfältet A(x,y,z)=(x,y,z)

a) ut genom ytan x^2+y^2=R^2, -a mindre än = z mindre än = a

b) in genom ytan x^2+y^2=4z^2, 0 mindre än = z mindre än = 1


På a) får jag 6pi*a*R^2, skall vara 4pi*a*R^2

På b) får jag bara fel... :S

Tack för svar

På a) känns det spontant så känns det som att du tar med även flödet ut genom "cylinder-ändarna" vid planen z=a, z=-a, vilket inte efterfrågas, utan det är bara flödet genom den "böjda" delen av cylindern som görs. Detta kommer hända om du bara applicerar Gauss sats direkt (för den ger ju totala flödet ut genom hela begränsningsytan till cylindriska området x² + y² ≤ R², -a ≤ z ≤ a, vilket alltså även inkluderar flöde ut genom ändar så att säga. I det här fallet tror jag det är enklare att bara räkna direkt, utan att använda Gauss sats.

På b) kanske du gör något liknande fel?

Tack igen, där löste det sig

Lånar tråden lite...

x+y+z=0 skär cylindern x^2+y^2=1 längsellipsen a. Beräkna int(över a, (3x^2z, y^3-x^3, 2y+x)(dx,dy,dz), då a är positivt orienterad, sedd från punkten (1,1,1).

Tack för hjälp... :/

Finns väl två vägar att gå:

1. Enklast är att använda Stokes sats för att skriva om integralen som en ytintegral (uttrycken är valda så att en massa saker tar ut varandra.)

2. Annars är det bara att parametrisera ellipsen. Tror att det enklaste är att byta till cylindriska koordinater (r, θ, z), och sen använda θ som parameter. Tror dock att det kommer bli lite kladdigt, minst sagt.

Hur får jag ut skärningsellipsen a ur det hela? Det är främst där jag fastnar tror jag... :/

Fattar inte ett skit av det här, exemplen vi har fått är helt olika övningsuppgfiterna -_-

Kan du, dbshw, eller nån annan visa tex den här uppgfiten noggrant? Tack så mycket!

Planet 3x+4y-z=0 skär kroppen abs(x)<=1, abs(y)<=1 i en yta S med randkurva a, som antas vara positivt orienterad sedd från punkten (0,0,10). Beräkna kurvintegralen int((xz, yz, x^3y^4)(dx,dy,dz))