Linjer och plan

Linjerna L1 och L2 går genom punkterna

(1,1,0) och (0,1,1) respektive

(2,2,-1) och (1,-1,2).

Bestäm ekvationen för ett plan som innehåller linjen L1 och är parallell med L2. Bestäm sedan avståndet mellan de två linjerna.



Har bestämt planets ekvation till

3x + 2y + 3z = 5, vilket stämmer.


För att bestämma avståndet mellan linjerna bestämmer jag det plan som innehåller L2. Det planet har samma normalvektor som det som innehåller L1, eftersom de är parallella.

Jag utgår då från punkten (1,-1,2) som ligger på L2 och bildar linjen L3:

L3: (x y z) = (1 -1 2) + t(3 2 3) där (3 2 3) är normalvektorn.

Sedan undersöker jag när L3 skär det plan som innehåller L1. Jag får att det sker när t=-1/11.

Detta ger mig en vektor mellan min givna punkt på L2 och L1. Beloppet av denna vektor är det sökta avståndet, men det blir inte rätt svar. Tänker jag fel någonstans eller är det bara slarv i beräkningarna?

Vad är svaret? Fick det till 7/11, men det kanske är helt fel?

Metoden känns rätt, och alla uträkningar du skrivit hittills verkar stämma. Jag får svaret √(2/11), både om jag fortsätter på din metod, och om jag räknar med en annan metod.

Hur gör man? Går det att ta en vektor mellan planet L1 ligger i och L2 och projicera den på normalen? Det var så jag gjorde, men eftersom jag är ganska grön inom linjär algebra så har jag säkert fel.

Väljer en punkt i ditt plan, typ Q=(1,1,0).
Utgår från din valda punkt P₂=(1,-1,2)
P₂Q = (1e₁ - 1e₂ + 2e₃) - (1e₁ + 1e₂) = (-2e₂ + 2e₃)
Använder sedan projektionsformeln med denna nya punkt och din normalvektor:
(1/22)((-2e₂+2e₃)•(3e₁+2e₂+3e₃))(3e₁+2e₂+3e₃) -- (lite fult skrivet, men ändå)
= (1/11)(3e₁+2e₂+3e₃)

Avståndet blir då (1/11)*√(3²+2²+3²) = (√22)/11

Hoppas det framgår hur jag menar, precis börjat med detta räknande. Med risk för fel alltså.

Rätt svar. Frågan är varför inte jag får det...

L = (1 -1 2) + t(3 2 3) och t=-1/11 ger skärningspunkten (8/11 -13/11 19/11). Vektor mellan (1 -1 2) och skärningspunkten bildas, och jag får den vektorn till (-3/11 -2/11 -2/11) och beloppet av den vektorn är √(17)/11.

--

Vektorn ska bli (-3/11, -2/11, -3/11).

... vilket kommer ur att 22-19 ≠ 2. Suck. Tack för hjälpen.