Modulo räkning

Uppgiften är:
Sista siffran i 2^321 + 3^123

Min lösning (fel enligt facit):
3^123 = 3^122 * 3 = (3^2)^66 * 3 ≡ -1^66 * 3 = 3 ≡ 3 mod 10

2^321 = 2^320 * 2 = (2^5)^64 * 2 ≡ 2^64 *2 = 2^65 = (2^5)^13 ≡ 2^13 = 2^3 * 2^10 = 2^3 * (2^5)^2 ≡ 2^3 * 2^2 = 2^5 ≡ 2 mod 10

2^5 = 32 ≡ 2 mod 10
3^2 = 9 ≡ -1 mod 10

Vad är det jag gör för fel? Enligt facit är svaret 9 och mitt svar blir ju 2 + 3 = 5... vilket är fel.

3^123 mod 10 = 3*(-1) = -3. (Teckenfel)

-3 är kongruent med 7 modulo 10.

7+2 = 9

Tack för svar!
Edit: Men (-1)^66 är väl 1? Ska det inte vara:
... (3^2)^66 * 3 ≡ (-1)^66 * 3 = 3 ≡ 3 mod 10
Varför ska det inte vara så?

Kanske säkrast för mig att göra denna uträkning istället för 3^123 (n är bara ett heltal):
3^123 = 3^120 * 3^3 = 27 * (3^4)^n ≡ 27 * 1^n = 27 * 1 = 27 ≡ 7 mod 10

3^4 = 81 ≡ 1 mod 10

Du kan studera problemet så här

3^0 = 1 ≡ 1 mod 10
3^1 = 3 ≡ 3 mod 10
3^2 = 9 ≡ 9 mod 10
3^3 = 27 ≡ 7 mod 10
3^4 = 81 ≡ 1 mod 10
3^5 = 243 ≡ 3 mod 10
3^6 = 729 ≡ 9 mod 10
3^7 = 2187 ≡ 7 mod 10

o.s.v.

3^n mod 10 är cyklisk med perioden 4, inte 2. Ser du var felet ligger?

Jo ser att du har rätt. Inte snack om den saken.. förstår dock inte var "räknefelet" ligger (förstår att jag får fel tecken men förstår inte varför det är fel tecken om man ser till uträkningen).

Ändrade på min förra post med en alternativ lösning.

Du hade skrivit 3^122 = (3^2)^66, men det ska vara (3^2)^61, så:

3^123 = 3^122*3 = (3^2)^61*3 ≡ -1^61*3 ≡ -3 ≡ 7 mod(10)

AHH, där har du det! Tack så mycket.