Bestam kortaste avstånd mellan två kurvor

Behöver hjälp med en uppgift från linjär algebra.

Bestäm kortaste avstånd mellan kurvan

y=x^2-2x+10 och y=2x-4

Hmm.. går inte det där lösa genom att finna en linje som skär vinkelrätt genom bägge kurvorna, eller nåt sånt?

Jo, det tycker jag. Man kan ju tänka på att de båda kurvorna kommer vara parallella vid de punkter där de är närmast varandra. Den ena kurvan i problemet är ju en rät linje så den har samma lutning överallt. Då gäller det att hitta den punkt på den krokiga kurvan som har samma lutning. Därefter består återstoden av problemet i att bestämma avståndet mellan en punkt och en rät linje.

I den punkten där de har kortast avstånd är där tangenterna till ekvationerna har samma lutning (derivera!!!). Då hittar vi ett värde för x på f, på var tangenterna har samma lutning.

Erkänner:

f(x) = x²-2x+10
g(x) = 2x-4

Deriverar och sätter i likhet med varann:

f'(x) = 2x-2
g'(x) = 2

f'(x) = g'(x) ⇔
2x-2 = 2 ⇔
x = 2

f(2) = 2²-2*2+10 = 10

I punkten (2,10) på f så har tangenterna samma lutning. Nu måste vi då veta kortaste avståndet mellan g och f, från den fixerade punkten (2,10) på f. Vi måste då hitta en normal till antingen g eller f, och kolla vart denna normalen skär denna punkten. En rät linje är vinkelrät mot en annan och och endast om produkten av riktningskoefficienterna är lika med -1. Ett resultat av detta är att om man inverterar en riktningskoefficient och byter tecken på den så erhåller man en riktningskoefficient som är vinkelrät.

Lutningen för g är 2. Vi kan också derivera för att kolla det, då får vi att g'(x) = 2. Men det ser vi annars direkt om vi tittar på funktionen g.

Normalen till g (normalen är vinkelrät mot g, eller då tangenten till g) är:

y = (-1/2)x+m

Nu skall vi också fråga oss, för vilket m så skär denna normalen punkten (2,10)?

Stoppar in punkten och löser:

10 = (-1/2)2+m
10+1 = m
11 = m

Ekvationen är då:

y = (-1/2)x+11

I vilken punkt skär då denna normalen funktionen g? Ekvationssystem!!

Ekvationssystem:

{y = 2x-4
{y = (-1/2)x+11
(x,y) = (6,8)

Skillnaden mellan punkterna är då:

(2,10)-(6,8) = (-4,2)

Pythagoras sats (vi vill ju veta hypotenusan så att säga):

√(4²+2²) = √20

Svar: √20

Kommentarer:
Har aldrig någonsin gjort en sådan här uppgift innan, men det verkar nog rätt om inte min förståelse sviker mig! Blev ju inte så mycket linjär algebra heller, kanske lite vektorsubtraktion men aa. Rätt är det ju i alla fall, troligen.

Bara en tanke utifrån föregående talares konklusion (det att de kommer vara parallella där de har som kortast avstånd).

Om det nu stämmer så fall borde uppgiften gå att lösa genom att derivera y=x^2-2x+10 och sedan sätta y'=2 (eftersom det är lutningen för den räta linjen y=2x-4

edit: tvåa på bollen (och dessutom rejält straffad )

Tackar för alla svar. <3