Linjär algebra, gammal kontrollskrivning

Hej! Sitter med en gammal kontrollskrivning och har kommit till en uppgift jag är osäker på. Hittar inget facit så jag vill först och främst veta om det är fel, och i så fall var.

Bestäm en bas i och dimensionen av

U = [ (2 0 1 3), (4 1 0 1), (6 1 1 4), (0 0 2 2) ]

Undersök även om v1 = (1 0 -1 0) och v2 = (1 0 0 -1) tillhör U.



Kallar vektorerna för u1 - u4 (i den ordning de står i höljet).

Sätter upp beroendeekvationen: k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = 0

vilket ger mig ett ekvationssystem där vektorerna står som kolonner. Jag löser det lika med noll och lägger till en kolonn med godtycklig vektor för att finna villkoret för U. Jag får följande

(k1 k2 k3 k4) = t(1 1 -1 0)

och de vektorer som tillhör U ska uppfylla

x1 + x2 + x3 - 5x4 = 0

Om vi sätter t=1 ser vi att u3 kan uttryckas som en linjärkombination av u1 och u2, och är därmed ett löjligt element. Därmed är dim U = 2 och späns upp av de linjärt oberoende vektorerna

(2 0 1 3), (4 1 0 1)

Om vi stoppar in v1 och v2 i kravet för U ser vi att v1 tillhör U, men inte v2.


Hur ser det ut? Är lite osäker på vad jag ska göra med u4 faktiskt (fick i beroendeekvationen att k4 = 0).

Du måste ha tänkt lite fel någonstans, även om du i stort tänkt rätt.

För att få ut en bas ställer du upp beroendeekvationen som du gjort. För att få ut de löjliga elementen då du löst ekvationssystemet finns ett knep i din bok - jag antar att du använder Ulf Janfalks bok eftersom du studerar vid LiTH. För att kontrollera om v1,v2 tillhör U kan du helt enkelt stoppa in dem i den ekvation du fått ut då du löst mot en godtycklig vektor. Om ekvationen VL=HL efter du stoppat in koordianterna i ekvationen, tillhör vektorn U.

Att du tänkt fel går att se relativt enkelt. Du har erhållit en ekvation som villkor för U. Då är dim(U)=4-1=3, d.v.s. det krävs tre vektorer för att spänna upp U. Antagligen har du tänkt fel när du eliminerat löjliga element. Är du säker på att u4 skall elimineras tillsammans med u3?

Jag får att k4=0 och att k3=-t. Det bör väl innebära att u4=0 (eftersom k4 är koefficienten för u4) samt att u3 = u2 + u1. Eller? Efterom att k1 = t och k2 = t.

Du borde inte få k4=0. I så fall har du troligtvis räknat fel. Säker på att du inte tolkar 0*k4=0 som k4=0?

http://dl.dropbox.com/u/716517/ett.jpg

http://dl.dropbox.com/u/716517/tva.jpg

Kvalitén blev dålig, men som du ser blir 0*k4=0. Detta är trivialt sant och nödvändigt för att erhålla en ekvation. Det betyder inte att u4 kan skrivas som en linjärkombination av u1,u2.

Det jag får är en rad där jag har

0 0 0 k4 | 0

men det betyder alltså inte att k4 = 0?

Om det ser ut så, och om du har gjort rätt så betyder det att k4 = 0, ja.

Men k4 = 0 betyder inte att u4 = 0.

Det vet jag ingenting om, jag tittade bara på nedersta inlägget. Jo om k4 = u4 så är u4 = 0. Men nu tittade jag bara på nedersta inlägget där TS skriver:
Svar: Jo

Fick klart för mig var jag tänkte fel förut idag, tack för hjälpen!

k4 och u4 kan inte vara lika; k4 är en skalär, u4 är en vektor.

Jag syftade på att TS skrev:

Ja jo, jag syftade bara på det jag citerade, därför citerar jag. Det som står där det jag citerade gäller. Jag skrev inget annat, varför du kommenterade det jag skrev, vet jag ej.