Elkretsanalys: filter och överföringsfunktion

Jag sitter och kollar på uppgift 3 på övningstentan http://www.kth.se/polopoly_fs/1.6170...ta2010.1.1.pdf

Jag har härlett sambandet U(ut)/U(in) i mina anteckningar:
http://i201.photobucket.com/albums/a...02010055-1.jpg

Jag vet att det är 1 då omega går mot 0, och 0 då omega går mot oändligheten.
Men frågan är vad det är där emellan? Uttrycket är ju så komplicerat att derivera att jag inte vet hur jag ska få fram denna information.
Lämpligtvis bör jag ju hitta några extrempunkter för att se hur funktionen beter sig, men det är alldeles för komplicerat att derivera och undersöka.

Det finns också ett facit, där deras tillvägagångssätt är helt annorlunda. Kan dock inte lista ur vad de gör. Är det någon som någon idé på något bra tillvägagångssätt? Skulle uppskatta det.

Facit: http://www.kth.se/polopoly_fs/1.61709!ftenta_sol.pdf

Det känns som att du har fel uttryck för U_ut/U_in redan i början. Borde det inte snarare vara

1/(iωC + 1/R)

i täljaren där i första uttrycket efter "U_ut/U_in = " i din lösning? Eftersom U_ut så att säga är spänningen över hela den parallellkopplade delen med resistorn och kondensatorn, och inte bara kondensatorn.

Det är en intressant sak du nämner. Jag får prova det imorgon.
Men likaså undrar jag om det blir någon skillnad. Spänningen över kondensatorn och resistorn bör vara densamma, så borde det bli olika värden för spänningen beroende på vilket uttryck jag använder?
Kanske finns det bara ett "korrekt" uttryck?

Det är väl klart att det bara finns ett korrekt uttryck.

Och ja, spänningen är lika över kondensatorn och resistor, men det betyder inte att man bara kan räkna med en av dem när man ska räkna ut den. Impendansen mellan de två ändarna på resistorn/kondensatorn är ju annorlunda än om man har bara en kondensator eller bara en resistor, och det är denna impendans som bestämmer hur spänningsdelningen från U_in och U_ut blir.

Dåligt formulerat kanske.
Spänningen över resistorn och kondensatorn är ju lika.
Därmed måste detta implicera att spänningsdelning över kondensatorn och spänningsdelning över resistorn måste vara lika. Detta måste ju även implicera att spänningsdelning över ersättningsimpedansen också måste vara densamma, eftersom de måste ge samma spänning.
Så frågan är, eftersom alla dessa uttryck skall ge samma spänning, vilken av de är "rätt"?

anteckningarna är rätt och det ser bra ut. Det är bara att fortsätta att arbeta om uttrycket så att man får ett smidigt absolutbelopp att titta på. All extra information om fas är ju inte intressant när du bara ska kolla hur filtret funkar stationärt för olika frekvenser.

De har gjort exakt samma sak i facit, fast inte multiplicerat med 1+jwRC som du gjorde.

Men saken är ju att uttrycket inte är lätt att arbeta med. Derivering ger ett ännu mer komplicerat uttryck. Dessutom beror funktionen på omega både i täljare och nämnare vilket gör det svårt att bestämma för vilket omega funktion får sitt maximala eller minimala värde.

Provade att räkna spänningen över ersättningsimpendansen och får detta:
http://i201.photobucket.com/albums/a...7102010097.jpg

Jag vet fortfarande dock inte hur jag ska få reta på vilken typ av filter det är (algebraiskt)...

Har inte kollat om det där är rätt uttryck, men om det är det, så är det inte så farligt.

Tricket är väl att du inte ska derivera hela funktionen, utan inse att

1/(3i + RωC + 1/(RωC)) stort

är samma sak som

(3i + RωC + 1/(RωC)) litet

så egentligen behöver du bara analysera det här senare uttrycket. Och derivera det är inte så farligt.

Om du som sagt beräknar absolutbeloppet av överföringsfunktionen så får de i facit (och du får om du dividerar bort nån faktor) R/sqrt((3R)^2 + (wR^2C - 1/wC)^2)
Man ser här att det finns ett minimum för wR^2C = 1/wC, (wRC)^2=1, så w=1/(RC).

Dividera bort din faktor 1+jwRC och förenkla så får du nog ungefär samma sak.

Okej. Äntligen har jag kommit någonstans.
Genom att dividera bort wCR i täljaren, ta absolutbelopp, derivera, sätta till 0 och lösa ut får jag 4 rötter, vilka 2 är imaginära och kan förkastas, och en är negativ som också kan kastas och w = 1/(RC).
Stoppar jag in 1/(RC) får jag 1/3 tror jag. Gränserna då omega går mot 0 och oändligheten är 0. Så det är en bandpass filter.
Sedan frågar de efter den ledande termen i absolutbeloppet då omega går mot 0. Detta kan jag inte lösa. De använder någon mystisk taylorutveckling som jag inte kan.
Men jag har lyckats lösa att gränsvärdet då omega går mot 0 är 0 från detta absolutbelopp.

Skulle och vilja ha en förklaring på:

Alltså. När du gör spänningdelningen är det enda som spelar roll kvoten av impendansen mellan punkterna där U_ut mäts, och impedansen mellan punkterna där U_in mäts. Och impedansen mellan punkterna där U_ut mäts är (det de i facit kallar) Z_a. Det spelar ingen roll exakt vad som ger upphov till den impedansen, utan det är den som gäller.

Man kan inte bara räkna som att resistorn finns och inte kondensatorn, eller vice versa, eftersom de båda bidrar till att leda ström mellan punkterna där U_ut mäts, och därmed bidrar till att sänka spänningen. Så du måste betrakta hela resistor-kondensator-systemet som en helhet, och alltså använda ersättningsimpedansen.