Aritmetiska härledningar som inte är ekvivalenta

(A) y = x-1 är definierad för alla x.

(B) x-1 <=> (x-1)(x+1)/(x+1)

(C) (x-1)(x+1)/(x+1) är inte definierad för x = -1

Suger aritmetiken eller är uttrycken i (B) helt enkelt inte ekvivalenta?

Gränsvärdet för (C) när x går mot -1 är dock detsamma som x=-1 i (A).

Först vill jag ingripa mot misshandeln av ekvivalenspilen här. Algebraiska uttryck kan vara lika, men inte ekvivalenta.

Hursomhelst, x-1 = (x-1)(x+1)/(x+1) för alla reella tal utom x = -1 om man ska vara superduperkorrekt. När x = -1 är HL odefinierat.

Naturligtvis slarvas det friskt med detta i praktiken. Man pratar ju gärna om att tan(x) = sin(x)/cos(x) för alla x, men inget av uttrycken är ju definierade för t.ex. x = 90 grader...

Tror du har missuppfattat det här med ekvivalenspilen, varför inte sätta likhetstecken mellan uttrycken? Dvs. varför inte

x-1 = (x-1)(x+1)/(x+1) = (x-1)*1?

Vad vet jag, det var kanske inte det du ville ha svar på.

Okej, då är jag med .

Är y = x-1 <=> y = (x-1)(x+1)/(x+1) korrekt? med de premisser som du gav då.


När man härleder x-1 till (x-1)(x+1)/(x+1) så har man i själva verket ett nytt uttryck som gäller under annorlunda förutsättningar alltså? Och som därmed inte är exakt samma som originalet? Det är det jag syftade på med ekvivalenspilarna.

Däremot så är i så fall y = x+1-1 <=> y = x då exakt samma definitionsmängd och värdemängd gäller?

Yes! Du har förlängt med konjugatet kan man säga.

Skriver du lim [x→1] i alla led så får du skriva likhetstecken hela tiden. Men om du inte gör det så håll dig till ekvivalenspilar.

Dvs, man kan inte skriva lim [x→1] f(x) = 1 <=> 1 .. det verkar ju helt felaktigt, men vill bara vara säker . Har för mig att någon lärare sa att det är bevisat att det är ekvivalent med ett iaf, men det är nog bara min fantasi som spökar.

y = x-1 ⇔ y = (x²-1)/(x+1) , ∀x: x ≠ 1

Detta torde vara korrekt. Det uppochnedvända A:et betyder "gäller för alla" och informationen efter kolonet indikerar villkoret som måste vara uppfyllt. I ord uttryckt betyder det alltså att uttrycken är ekvivalenta för alla x utom 1.

Jo det kan du skriva, men du behöver inte.

Ser snyggt ut! Jag lärde mig det "upp-och-nedvända" A:et förra veckan. Mycket kul notation!

Kan tillägga att det ofta är fördelaktigt att tolka ⇔ som "om och endast om". Och att lösningsmängden skall vara samma.

Tex skriver jag alltid ekvationer såhär:

f(x) = x³-(3x/4)-(1/4) = 0
⇔
x₁ = 1
x₂,₃ = -1/2

f(x) är lika med noll, om och endast om x är lika med 1 eller -1/2.
Lösningsmängden i f(x) är samma som lösningsmängden i x₁ = 1, x₂,₃ = -1/2, som likheterna uttrycker. Eller då, x₁-1 = 0, x₂,₃+1/2 = 0. Nu kanske du funderar på varför faktorsatsen ser ut som den gör.

Vi hade kunnat skriva också:

x³-(3x/4)-(1/4) = 0
⇔
x∈{1, -1/2}

Bra påpekande. TS borde ha i åtanke att ekvivalenspilen inte är ett "finare likhetstecken". I algebraiska omskrivningar som huvudinlägget handlar om borde likhetstecken användas, med villkor - inget formellt fel begås, men det ser udda ut.

I ekvationslösningen brukar dock ekvivalenspil användas eftersom det inte är likhet mellan leden, dock bevaras lösningsmängden som visas i det citerade inlägget.

Ber om ursäkt om jag misstolkar det sista där, men i "x-1 <=> (x-1)(x+1)/(x+1)" skulle jag nog vilja påstå att det är just ett formellt fel som begås. Varken x-1 eller (x-1)(x+1)/(x+1) är påståenden, alltså kan vi inte prata om ekvivalens mellan dem.