Existerar oändligheten eller finns det ett högsta tal?

Aha det är sant, hade faktiskt inte det i åtanke.


Det är nog bara jag som är för torr

Nej, inte riktigt. Det är faktiskt omöjligt att räkna upp alla reella tal mellan 0 och 1 även om du har oändlig tid på dig. Jag tror att man måste gå in på vad som matematiskt räknas som "räkna upp" för att klargöra det här. Det innebär att det finns ett definierat sätt att räkna elementen en efter en så att du kan nå vilket (ändligt) element som helst inom ett ändligt antal uppräkningar. För att ta några exempel:

1. Naturliga talen. Går att räkna upp genom att börja på 0 och sedan ta följande tal ett efter ett, d.v.s 0, 1, 2, 3 o.s.v. Det kommer att gå att nå vilket tal som helst efter samma antal uppräkningar som värdet av talet.

2. Alla heltal. Nu blir det lite svårare. Ett försök på uppräkningsmetod skulle kunna vara att räkna de naturliga talen först som ovan och sedan de negativa heltalen. Men nu inser vi att det t.ex. inte går att nå talet -1 inom en ändlig tid (du kommer aldrig att bli klar med de naturliga talen). Lösningen är att räkna upp talen enligt 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 o.s.v. Nu kommer man att nå vilket tal som helst inom en ändlig tid.

3. De positiva rationella talen. Här får man tänka till lite, men det är fullt möjligt. En fungerande metod skulle vara att räkna upp de naturliga talen i nämnaren och alla naturliga tal < nämnaren i täljaren. Så här: 0, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4... Nu kommer man att få några dubletter (1/2 och 2/4 t.ex.) men det är inget egentligt problem, vi kan bara säga att vi använder ovanstående metod men hoppar över alla tal som är identiska med de vi redan räknat upp.

4. Alla rationella tal. Kombinera metoderna för 2. och 3.

5. Reella talen. Nu blir det väldigt svårt. Närmare bestämt omöjligt. Jag utelämnar bevis, men den som inte tror på mig kan sätta sig ned och försöka komma på ett sätt att som ovan räkna upp dessa tal så att man faktiskt får med alla.

Men nu är ju 1/3 främst ett rationellt tal. Det gör ju möjligheten att visualisera det för en lekman betydligt lättare. Ett exempel med ett reellt tal hade varit matnyttigare. Men detta kan vara att gå OT.

Nu känner jag mig visserligen lite snurrig, men oavsett basen i ett positionssystem blir väl 1 alltid 1?

Rationella tal är reella. Jag antar att du menar irrationellt. Min första poäng var just att det inte är den oändliga decimalutvecklingen som är problemet. Min andra poäng var oändliga summor "används" i naturen eftersom du kan skriva alla möjliga tal som oändliga summor. Naturen borde således kunna använda pi utan problem. Huruvida naturen kräver ett pi med oändligt antal decimaler vet jag inte. Vi kan aldrig kontrollera detta och således är det egentligen inte en fråga för fysiker utan för filosofer.

Jo jag förstod till sist att det var det Kurret försökte få fram till mig, hade som sagt inte uppräknelighet i tankarna överhuvudtaget. My bad.

För övrigt. Finns det något försök att ta reda på hur många transcendenta tal det finns? Hur många irrationella? Till exempel jämfört relativt varandra, hur många irrationella jämfört med rationella osv. Hur många transcendenta bland de irrationella? Då menar jag inte antal utan snarare frekvens eller vad man ska säga. Jag hoppas ni förstår vad jag efterfrågar. Finns det något mått överhuvudtaget?

Det går väl att kontrollera om man kan finna en minsta längdenhet rent fysiskt tillsammans med att universum ej saknar gräns alternativt att det inte finns oändligt med materia? Det skulle åtminstone göra att pi endast behöver ett visst antal decimaler för att beskriva alla fysiskt möjliga objekt. Sen vare sig pi existerar med oändlig decimalutveckling någonstans i verkligheten är helt klart ren filosofi antar jag.

Låt säga att du med absolut säkerhet kan få reda på att det finns ett ändligt stort minsta möjliga objekt - då stämmer det, ja, men att helt säkert veta att ett objekt är det minsta möjliga är omöjligt (anledningarna är så många att man kan börja lite där man känner att det känns enklast).

Nåja, vi får väl se. Det finns minst en (ej bevisad) teori som vilar på en minsta längdenhet. Vidare har det upptäckts udda resultat experimentiellt som sammanfaller med nämnda teori. Det är förstås osäkert då det inte verifierats ännu. Jag tar däremot avstånd till att utesluta det så snabbt som du gör.