Olikhet i linjär algebra

Bestäm det minsta talet a för vilket olikheten

xy + yz ≤ a(x^2 + y^2+ z^2)

gäller för alla (x,y,z) i R^3

Hoppas någon kan lösa den eller iaf sätta mig på rätt spår

Tack på förhand!

Jag skulle börja med att diagonalisera/kvadratkomplettera vänsterledet. (Det vill säga införa ett nytt ortogonalt koordinatsystem med koordinater u, v, w så att

xy + yz = au² + bv² + cw²

för skalärer a, b och c.

Jag bytte baser i högerledet och fick a(u2 + v2 + w2). Hur ska jag gå till väga för att byta baserna i vänsterledet?

Du kan alltså skriva xy + yz som


Om du då diagonaliserar matrisen A i mitten som A = Q^-1 D Q, med D alltså en diagonalmatris, och Q en ortogonal matris (vilket går att göra, enligt lämplig version av spektralsatsen) och låter (u, v, w)^t = Q (x, y, z)^t så funkar det.

Jag förstår ditt upplägg här:
(Matriserna vart inte så vackra men jag tror att du kan förså vad jag menar)

Men varför /2?

Jag testade att använda matrisen och får xy + xyz + yz
istället för xy + yz

Jag testade även att använda en matris som ser ut på följande sätt:



Och får xy + yz men när jag försöker diagonalisera denna matris så får jag bara att alla lambada blir lika med 0, vilket gör att jag inte kan skriva vänsterledet med nya baser.

Hur ska jag göra nu?

För att det blir så. Egentligen så menade jag att du ska använda


ty då får du just xy + yz. (Inte xy + xyz + yz, då har du gjort matrismutliplikationen fel).


Ja.

Alltså, vi vill skriva vårt kvadratiska uttryck som x^t * A * x, där x är kolonnvektorn (x, y, z)^t och A är en matris. Som du har märkt finns det en obestämdhet i exakt vilken matrisn A vi tar; om vi t.ex. ökar värdet på a_12 och minskar a_21 med lika mycket så ändras inte x^t * A * x. Mer generellt så är

x^t * A * x = a_11 x² + a_22 y² + a_33 z² + (a_12 + a_21) xy + (a_13 + a_31) xz + (a_23 + a_32) yz.

så vi kan alltså välja hur mycket av koefficienten framför xy vi har i vårt uttryck vi vill lägga på a_12 och hur mycket på a_21, så att säga.

Dock så är ju poängen med detta att vi vill diagonalisera A medelst en ortogonal matris, och detta går inte att göra i allmänhet (vilket du också har märkt); det visar det sig att det bara går om A är symmetrisk. Så då kräver vi också att a_12 = a_21, a_13 = a_31, a_23 = a_32, och då finns det bara en lösning som ger x^t * A * x = xy + yz för alla x, nämligen den som ges just av a_12 = a_21 = a_23 = a_32 = 1/2, och alla andra matriselement är 0.

Så försök diagonlisera den matrisen igen.

Jag fick ut egenvärderna 0, (roten ur2)/2 och -(roten ur 2)/2

Med detta kunde jag göra en diagonalmatris och få ut ett nytt uttryck för vänsterledet

Hela ekvationen ser nu ut såhär:


v^2((roten ur 2)/2) - w^2((roten ur 2)/2) = a(u^2 + v^2 + w^2)

Denna förenklade jag till

v^2((roten ur 2)/2 - a) - w^2(a - (roten ur 2)/2) - au^2 ≤ 0


Sen vet jag inte hur jag ska kunna få ut a självt så att jag vet vad minsta värdet det kan ha.
Några smarta idéer?

Tack för all hjälp än så länge

Nja, tanken är väl mer att nu ska man kunna direkt "se" resultatet från egenvärdena.

Vi söker alltså det minsta a så att

v^2(√2)/2 - w^2(√2)/2 ≤ a(u^2 + v^2 + w^2)

för alla u, v och w. Eller med andra ord så att

(v^2(√2)/2 - w^2(√2)/2)/(u^2 + v^2 + w^2) ≤ a

eller med andra ord söker vi max av uttrycket

(v^2(√2)/2 - w^2(√2)/2)/(u^2 + v^2 + w^2).

Notera att värdet på uttrycket inte ändras om vi multiplicerar vektorn (u, v, w) med en skalär λ. Detta betyder att uttrycket är konstant på linjer genom origo. Alltså räcker det med att maximera uttrycket över enhetssfären, det vill säga, vi söker max av

(v^2(√2)/2 - w^2(√2)/2)/(u^2 + v^2 + w^2).

för (u, v, w) sådana att u² + v² + w² = 1.

Men i detta fall så kan vi förkorta uttrycket; vi ska maximera

v^2(√2)/2 - w^2(√2)/2)

för (u, v, w) med u² + v² + w² = 1. Men detta är trivialt; max ges när v² = 1, w² = 0.

Sätt u = (x+z)/√2 och v = (x-z)/√2. Då gäller u² + v² = x² + z² och vi kan skriva olikheten
√2 uy = a(u² + v² + z²).

Nu vet vi dock att 0 ≤ (u-y)² = (u² + y²) - 2 uy, d.v.s 2 uy ≤ u² + y², där likhet erhålls om u = y. Alltså gäller
√2 uy ≤ (u² + v²)/√2 ≤ (u² + v² + z²)/√2.

Vi identifierar a = 1/√2.

Sorry grabbar jag har verkligen försökt förstå vad ni menar, men det är lite svårt.

Finns det något direkt samband mellan att svaret ska vara detsamma som lamba?

Jag har även kollat på pluggakuten där dom skrev uttrycket på följande sätt:


Vilket jag förstår hur dom har gjort. Med detta får jag ut 3 lamba varav alla är a. Detta i en D matris för att få ut nya baser ger mig inget vettigt svar. Kan någon förklara den gamla metoden lite tydligare eller kanske förklara den här åt mig? Tack igen

Ja. Jag har försökt förklara ganska tydligt i mitt förra inlägg, kan du peka mer specifikt på var du inte förstår?

Annars kan man tänka mer geometriskt också (och det var så jag tänkte när jag först såg uppgiften, men det är svårare att sätta såna tankegångar på pränt):

Bektrakta ytorna

A: xy + yz = b²

samt

B: x² + y² + z² = c²,

med b, c > 0.

Om dessa har gemensamma punkter, så finns det alltså x, y, z så att båda ekvationerna gäller simultant, och då måste, om a är så att olikheten xy + yz ≤ a(x² + y² + z²) gäller för alla x,y,z det också gälla att

b² ≤ ac².

Poängen är då måste det minsta a:et för vilken olikheten a gäller också vara det minsta a:et för vilka b² ≤ ac² närhelst A och B korsar varandra.

Poängen är nu att A och B inte korsar varandra; A är en slags hyperboloid (eller snarare en hyperbolisk cylinder eller vad man ska kalla det), och B är en sfär med radie c.

Vi kan då räkna ut det kortaste avståndet från A till origo, detta kommer vara proportionellt mot b, låt oss säga u*b där u är nån konstant som vi har räknat ut.

Geometriskt kan vi då sluta oss till att A och B har då gemensamma punkter om och endast om u*b ≤ c. Vidare gäller att likhet gäller, dvs u*b = c, om A och B tangerar varandra (vilket alltså kan ske).

Men detta betyder alltså att om A och B har gemensamma punkter, så är

b² ≤ (1/u²) c²

och likhet kan inträffa. Detta betyder att det minsta a för vilket b² ≤ a c² närhelst A och B korsar varandra är just a = (1/u²).

Så problemet är då bara att lära sig ta ut det kortaste avståndet från en hyperbel (eller kanske en kvadratisk yta i allmänhet) till origo, och det är egentligen det vi gör när vi tar ut egenvärde till den kvadratiska formen.


För det första är dina egenvärden fel.

Annars så är väl tanken att om A är en symmetrisk matris så är

x^t A x ≥ 0

omm alla egenvärden till A är ickenegativa (vilket kan inses eftersom

x^t A x = λ_1 u² + λ_2 v² + λ_3 w²

i något koordinatasystem (u, v, w), där λ_i är egenvärdena till A). Så du söker alltså det minsta a för vilket alla egenvärden till matrisen där är ≥ 0.