linjärkombination

Vilka av följande mängder genererar P_2?

M_1 = {1, x, x^2}, M_2 = {1+x, x+x^2, 1+x^2}, M_3 = {(1+x)^2, (1-x)^2, 1+x^2}

Antar att det handlar om att ställa upp beroendeekvationen men vet inte hur man ska göra när det är flera M.

Ställ upp mängderna var för sig, det är ju det uppgiften tycks gå ut på. Angående den första är det ju rätt självklart att den genererar P₂ men om man vill ställa upp det:

λ₁ ·x(0 0 1) + λ₂ ·x(0 1 0) + λ₃ ·x(1 0 0) = (0 0 0) där x = (x² x 1). Nu blir det uppenbart att elementen är linjärt oberoende och därmed spänns P₂ upp. Gör nu liknande för de andra mängderna.

Tack! Nytt problem:

Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet
{x_1+x_2+x_3+x_4 = 0
{x_1+x_2-x_3 = 0
Utvidga till en bas för W = {X tillhör R^4: x_1+x_2-x_3 = 0} och utvidga slutligen denna till en bas för R^4. Ange koordinaterna för u = (1,0,0,0) i denna bas.

Du tycks ha två unika ekvationer som beskriver ditt underrum (lösningsrummet) till R⁴. Därmed är dimensionen för detta rum 4 - 2 = 2 och du behöver införa två parametrar för att ta fram basen. Förenklar bara lite:

{ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0
{ x₁ + x₂ - x₃ = 0

⇔

{ 2x₁ + 2x₂ + x₄ = 0
{ x₁ + x₂ - x₃ = 0

Tycks vara lämpligt att sätta x₁ = s och x₂ = t.

{ x₁ = s
{ x₂ = t
{ x₃ = s + t
{ x₄ = -2s - 2t

En bas för denna lösningsmängd är alltså (1 0 1 -2) och (0 1 1 -2).

För att utvidga till en bas för W = {x ∈ R⁴: x₁ + x₂ - x₃ = 0} ser du till att elementet ligger i detta rum, men bryter mot x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0. Exempelvis (1 0 1 0) fyller ut basen och för att ytterligare fylla ut till R⁴ så bryter du mot samtliga villkor och då passar (1 1 1 1).

Vi har alltså basen (1 0 1 -2), (0 1 1 -2), (1 0 1 0) och (1 1 1 1) som en fullgod bas till R⁴ och för att bestämma u:s koordinater i denna bas löser du helt enkelt ekvationen:

λ₁·(1 0 1 -2) + λ₂·(0 1 1 -2) + λ₃·(1 0 1 0) + λ₄·(1 1 1 1) = (1 0 0 0)

Där λ₁, ..., λ₄ anger koordinaterna för u i den nya basen. Observera att det kan hända att facit har tagit fram en annorlunda bas och det kanske inte stämmer överens men nu har du i alla fall metodiken framför dig.

Valde de som stod i facit för att kunna se så jag gjorde rätt hela vägen. De valde (1,-1,0,0), (1,0,1,-2), (1,1,2,0), (1,0,0,0) och får u:s koordinater till (0,0,0,1). Jag får dem till (1,0,0,0). Fel i facit eller tänker jag fel? Sätter upp

1 1 1 1 |1
-1 0 1 0 |0
0 1 2 0 |0
0 -2 0 0|0

Det beror ju helt på hur basen är ordnad. Men om du har (1 -1 0 0), (1 0 1 -2), (1 1 2 0), (1 0 0 0) som bas är det ju klart att u:s koordinater blir (0, 0, 0, 1). Det behöver du ju inte ens ställa upp i det här fallet.

Det var ju just det som inte var klart för mig. För om du tittar på mitt senaste inlägg och tar matrisen där och löser ut den, så kommer högerledet att vara (1 0 0 0) när du har en 1 på varje rad i vänsterledet?

Edit: tror jag fattar nu, måste ju skriva om raderna i rätt ordning sen, det är bara det va?

alltså

0 0 0 1 |1 blir 1 0 0 0 | 0
0 1 0 0 |0 0 1 0 0 | 0
0 0 1 0 |0 0 0 1 0 | 0
1 0 0 0 |0 0 0 0 1 | 1

Ja, det kan bero på det. Jag får i alla fall (0, 0, 0, 1) vid radoperation.