Statistisk fysik - Minimering genom variation.

Hejsan!
Sitter med ett klurigt concept inom statistisk fysik. Jag stöter ofta på situationer där man måste minimera en funktion genom att variera en variabel. Jag har svårt att förstå hur man går tillväga?

Här är ett scenario:

f(psi1, x) = xf(psi1) + (1-x)f(psi2) = xf(psi1) + (1-x)f((psi'-xpsi1)/(1-x)) där psi2 = (psi'-xpsi1)/(1-x)

Minimering genom att variera psi1 ger (enligt boken),

xf'(psi1) - xf'(psi2) = 0 ...varför/hur?

Och minimering genom att variera x ger,

f(psi1) - f(psi2) - (1-x)f'(psi2) [psi1/(1-x) - (psi'-xpsi1)/(1-x)^2] = 0 ...Varför/hur?

Hur går ma tillväga och vilken innebörd har minimering genom variation?

Kan du förklara din notation lite? Är det verkligen funktionen som ska minimeras, är det inte ex. en verkansintegral eller en energi?

Lite otydligt ser jag nu. Har fixat matte-plugin till firefox nu så det borde vara tydligare samt att jag skrivit av direkt från boken nu. Det står:

The thermodynamic potential can be written as,

Φ(δ1,x) = xΦ(δ1)+(1-x)Φ(δ2) = xΦ(δ1)+(1-x)Φ( (δa-xδ1)/(1-x) ) , (δa=average parameter)

This expression for Φ(δ1,x) is a minimum with respect to both x and δ1. If we minimize by varying δ1 we get the relation,

xΦ'(δ1)-xΦ'(δ2)=0

This relation tells us that the slope Φ(δ) at δ1 is the same as the slope at Φ(δ2)
If we minimize by varying x we get the relation

Φ(δ1)-Φ(δ2)-(1-x)Φ'(δ2)( (δ1/(1-x)-(δa-xδ1)/(1-x)² )

Alltså vad innebär detta och hur löser man minimeringen genom variationen?

Att variera x betyder i praktiken bara att du deriverar med avseende på x. Sätter vi sedan derivatan lika med noll hittar vi extrempunkterna. Du har

d/dδ1(xΦ(δ1)+(1-x)Φ((δa-xδ1)/(1-x)))
= xΦ'(δ1) + (1-x)Φ'((δa-xδ1)/(1-x))*d/dδ1((δa-xδ1)/(1-x))
= xΦ'(δ1) + (1-x)Φ'((δa-xδ1)/(1-x))*(-x/(1-x))
= xΦ'(δ1) - xΦ'((δa-xδ1)/(1-x))
= xΦ'(δ1) - xΦ'(δ2)

och

d/dx(xΦ(δ1)+(1-x)Φ((δa-xδ1)/(1-x)))
= Φ(δ1) + -Φ(δ2) + (1-x)Φ'((δa-xδ1)/(1-x))*d/dx((δa-xδ1)/(1-x))
= Φ(δ1) - Φ(δ2) + (1-x)Φ'(δ2)*(-δ1/(1-x) + (δa-xδ1)/(1-x)²)
= Φ(δ1) - Φ(δ2) - (1-x)Φ'(δ2)*(δ1/(1-x) - (δa-xδ1)/(1-x)²)

Jag vet inte vad denna potential är men ex. Helmholtz fria energi minimeras vid termodynamisk jämvikt. Således kan man minimera funktionen med avseende på dess fria parametrar för att hitta jämviktstillståndet. Du sätter alltså båda uttrycket lika med noll för att hitta värdet på x (molfraktion?) och δ1.

Tekniken används också inom kvantmekaniken där man kan gissa vågfunktioner med fria parametrar och sedan skruva på dessa för att minimera energin i grundtillståndet eftersom den korrekta vågfunktionen ger minimal energi för grundtillståndet.

I klassisk mekanik används (funktional)variationsprincipen på en verkansintegral (den ska ha extremvärde) för att härleda Lagranges ekvationer som är differentialekvationer för de generaliserade koordinaterna.

Det var mindre komplicerat är vad jag hade förväntat mig.

Om jag förstått rätt så kan man tolka den termodynamiska potentialen som en generaliserad fri energy. Den termonynamiska potentialen är, som du säger, lika Helmoltz fria energi vid jämvikt och konstant temperatur och volym. Och lika med Gibbs fria energi vid jämvikt och konstant tryck och antal partiklar. Jämvikt upptår om den generaliserade "grand potential" är ett minimum.

En termodynamisk potential är ett allmänt uttryck och Helmholtz/Gibbs är som du säger två exempel på potentialer som är minimala vid de olika omständigheter du nämner.

Relaterat till detta så är upptäckten av partition funktionen Z, som jag ser det, ett stort kliv framåt inom statistisk fysik eftersom den tillåter en att räkna ut en mängd av termodynamiska egenskaper såsom entropin, trycket, antal partiklar för ett system osv. Alla dessa kan räknas ut från "the grand potential" Φ(g) som i sin tur kan räknas ut från the grand partition funktion (Z i detta fall har en symbol som liknar ≡).

Φ(g) = -k(B)T ln(≡)

En grej som jag brottas med är hur man ska formulera denna partition funktion när man arbetar inom phase transitions (fas övergångar?).

≡ = ∑<j> exp[-( E(j)-μN(j) ) / k(B)T], i The grand canonical ensemble

Inom problemet som du nyss hjälpte till med är

≡ = (1+exp[ 6εn+μ) / k(B)T ])^N(0) exp[ -3εn²N(0) / k(B)T

μ=kemiska pottentialen
N(0)= antal partikel ställen (sites)
n=N/N(o)

Finns det alltså en ekvivalens mellan dessa två partitionsfunktioner eller har de olika grundformuleringar? Mina matte kunskaper brister här så jag lyckas inte härleda

≡ = (1+exp[ 6εn+μ) / k(B)T ])^N(0) exp[ -3εn²N(0) / k(B)T

från

≡ = ∑<j> exp[-( E(j)-μN(j) ) / k(B)T]

för att testa det.

Vad är E(j)? Du syftar på Hamiltonianen från den andra tråden? Vad är då H(j)?

Ja jag refererar till den andra tråden men eftersom ämnet dök upp här så blev det lite förvirrat.
E(j) referar till kvanttillstånds energin. Jag tänkte posta om i den andra tråden så blir det mer rätt.

Alla partiklar är identiska. Vi räknar därför ut Ξ (stora "xi") för en partikel och tar sedan resultatet upphöjt till N(0) för att få den totala partitionsfunktionen. Om detta inte är känt kan du fundera på produkter av typen

exp(x1+y1) + exp(x1+y2) + exp(x2+y1) + exp(x2+y2) = (exp(x1) + exp(x2))*(exp(y1) + exp(y2)).

Detta är den typ av summa vi ska beräkna (vänsterled) där x1, x2 är möjliga värden på n(1); y1, y2 är möjliga värden på n(2). Om nu x och y är identiska så blir högerledet bara

(exp(x1) + exp(x2))²

så vi kan alltså räkna ut summan för en partikel och sedan ta resultat upphöjt till antal partiklar.

Flerpartikeltillstånden indexeras av j - E(j) är alltså en total energi för alla partiklar och N(j) är totala ockuperade tillstånd (vilket jag antagit att det handlar om). Ett flerpartikeltillstånd karaktäriseras alltså av n(i) = 0 eller 1 för i = 1 till N(0). Våra enpartikeltillstånd har alltså två möjliga exponenter

-(3εn²-6εn*1-μ*1)/kBT = -(3εn²-6εnn-μ)/kBT

eller

-(3εn²-6εn*0-μ*0)/kBT = -3εn²/kBT.

Alltså blir partitionsfunktionen

Ξ = ∑<j>exp[-(E(j)-μN(j))/kBT] = (∑<n(i)=0,1>exp[-(3εn²-6εnn(i)-μn(i))/kBT)])^(N(0))
= exp(-3εn²N(0))*(exp(0) + exp((6εn+μn)/kBT))^(N(0))
= exp(-3εn²N(0))*(1 + exp((6εn+μn)/kBT))^(N(0))

Sticker nu så jag får gå igenom det senare. Sack ska du föresten.