Derivera! Matte E

Hej! Talet: Bestäm de tre första tidpunkterna (t>0) då s=0,045*sin(7,5t) och s'=0

Hur ska jag tänka?

Börja med att derivera funktionen s=0,045*sin(7,5t)

Sen söker du för vilka t som funktion s' är 0. Du kommer få oändligt många eftersom det är en trigonomisk funktion, därför tar du de tre första som är t≥0 !

Om

s=0,045*sin(7,5t)

så borde:

s'(t)=7,5*0,045*cos(7,5t). 7,5 är inre derivatan och cos(7,5t) är yttre.

Sen om s'=0 så borde det vara de värden då cos(7,5t)=0, eller hur? Detta ger oss att t=(pi/2)+n*pi

Stämmer detta? För var ett bra tag sen jag höll på med derivering

Om t är π/2 blir cos(7,5t)~0,7 (har ingen miniräknare till hands)

För cos(x)=0 är x=π/2 + n*π (n är ett heltal)

Resten kan du!

Tror ej det stämmer! När jag är klar med deriveringen: (27/80)*cos(7,5t) sen får jag att t = pi/15 men hur får jag ut de andra två? ska man skriva pi/15 + n * 2pi?

Visst ja, tänkte helt fel där Det är ju förstås 7,5*t som ska bli π/2

Japp t ska vara π/15, jag skrev lite fel i förra. Jag sa att t=π/2+nπ men det är 7,5t=π/2+nπ som ska stämma. Om du delar med 7,5 på båda sidorna får du att t=π/15+nπ, där n är ett heltal.

Så, om jag inte knasat till det igen, ska det vara:

t1=π/15
t2=16π/15
t3=31π/15

EDIT: Strulade till det igen Ska fan lägga mig nu så jag inte rör till allt ännu mer. Dock stämmer t1=π/15

Deriverar:

s = 0.045*sin(7,5t)
s' = 0.3375*cos(7.5t)

Derivatans nollställe:

0.3375*cos(7.5t) = 0
cos(7.5t) = 0
arccos(cos(7.5t)) = arccos(0)
7.5t = ±π/2+2πn
7.5t = ±π/2+4πn/2
t = ±π/15+4πn/15

Vi har ± eftersom cos(-v) = cos(v)!

Vi vill veta när derivatan blir ett nollställe, alltså för vilka heltal n i "±π/15+4πn/15 > 0" är s' = 0. t skulle också vara större än noll (det var ju det jag skrev) så vi får räkna med det också såklart. Samt att vi skulle använda de första tre tidpunkterna då s' var lika med noll. Vilket var det jag löste ovan, alltså nollställena till derivatan.

Teckentabell:

n = 0
π/15

n = 1
3π/15, 5π/15

Vi måste ju tänka på att vi väljer ± också, därav flera positiva t, när n = 1. När n är lika med noll så kan vi bara välja +π/15 och inte -, för då blir ju t negativt, och det ville vi inte.

Svar:

t₁ = π/15
t₂ = 3π/15
t₃ = 5π/15