trippelintegral

hej

uppgiften lyder:

beräkna integralen (x^2 + y^2)dxdydz på kroppen K som ges av:
{(x,y,z); 0 <= x^2 + y^2 <= z^2, 0 <= z <= 1} ??

jag vill ha lite vägledning såhär i början tack.. tex kan någon vara så vänlig att förklara hur man ska kunna rita upp en bild av det här?

Gör ett byte till cylindriska koordinater. Det borde även hjälpa med bildritningen.

är det samma sak som rymdpolära koordinater?

Det är väl en kon om jag inte ser helt fel. Därmed är väl skivor i z-led en bra väg att gå. Ett planpolärt variabelbyte för den inre dubbelintegralen.

D: 0 ≤ x² + y² ≤ z² och vid planpolärt E: 0 ≤ r² ≤ z² och 0 ≤ φ ≤ 2π.

∫∫∫_K dV = ∫_{0, 1} (∫∫_D dxdy) dz = ∫_{0, 1} (∫∫_E r drdφ) dz = ∫_{0, 1} (∫_{0, z} r dr ∫_{0, 2π} dφ ) dz = ∫_{0, 1} z²/2·π/2 dz = π ∫_{0, 1} z² dz = π·(1/3) = π/3 v.e.

Kommer du ihåg formeln för hur man räknar ut en kon? Arean = (Bottenarean × Höjden)/3 och i det här fallet har vi Arean = (1·1·π·1)/3 = π/3 då konen har radie 1 l.e. och höjd 1 l.e.

Njaä... Det hjälper mer med sfärer och sånt. Tänk att x^2 + y^2 är en cirkel och eftersom 0 <= z <= 1 så blir figuren en kon med h=1

EDIT: Någon hann före

ja, det stämmer att det är en kon.. men jag fattar inte hur man ska komma fram till det..
i boken finns ett exempel där dom gör ett ekvationssystem och kommer fram till gränserna på ett bra sett.. men där utgörs inte K av dubbelolikheter
kände du bara igen sambandet eller hur gick du till väga?
i övrigt verkar din metod smidig!!

vidare undrar jag om det inte råkat smyga sig in ett fel här

∫∫∫_K dV = ∫_{0, 1} (∫∫_D dxdy) dz = ∫_{0, 1} (∫∫_E r drdφ) dz = ∫_{0, 1} (∫_{0, z} r dr ∫_{0, 2π} dφ ) dz = ∫_{0, 1} z²/2·π/2 dz = π ∫_{0, 1} z² dz = π·(1/3) = π/3 v.e.

ska det inte stå r^3 här.. funktionen med polära koord. borde väl bli r^2 sen multiplicerat med funktionaldeterminanten blir det r^3.. isf blir svaret pi/10..

??

Nej, var får du det ifrån? Vi kan egentligen skippa steget med planpolärt byte; på fixa z-nivåer tar vi dubbelintegralen över cirkelskivor med radie z. Därmed blir arean för varje fix z-nivå z·z·π = πz² vilket var samma sak jag fick fram.

Om du gör ett variabelbyte:

{ x = r·cosφ
{ y = r·sinφ
{ z = z

Så lyder olikheten: r² ≤ z² och 0 ≤ z ≤ 1 och då är det lätt att inse att vi har skivor med z-axeln som symmetriaxel, och ju högre upp vi kommer på z-axeln, desto större blir dessa cirkelskivor. Att det handlar om en kon är nu uppenbart.

bra förklaring till hur du fick fram konen, tack..

dock står jag fast vid att det ska vara
∫_{0, 1} (∫∫_E r^3 drdφ) dz
och att svaret således blir pi/10

Du har helt rätt, jag trodde att man bara skulle beräkna volymen men såg nu att även integranden x² + y² ingick!