Spegla en transformationsmatris

Jag har en kvadrat (1, 1) till (2, 2), denna ska jag spegla i linjen y = -2x. Jag är helt lost och boken är inte till någon hjälp alls. Hur gör man?

Speglingsmatrisen för vinkeln alfa får vi då se som en sats. Alfa finner man igenom att beräkna det positiva argumentet ifrån positiva realaxeln till linjen man speglar med avseende på. Man kan även göra på ett annat sätt, utan att behöva veta vinkeln.

Nu förstår jag inte hur du menar med en kvadrat när du bara har två punkter. En kvadrat måste innehålla minst 4 punkter. (1, 1) och (2, 2) är bara två punkter. Men du kanske menar kvadraten med de fyra punkterna såhär?
(1,1), (2,1), (2,2), (1,2)?

Ja exakt de fyra punkterna.

Om jag kör f(1) = -2

v = cos(1/(-2)) ~ 50 grader

Utav detta får jag en ny matris.

H =
(cos2v, sin2v)
(sin2v, -cos2v)

Det är alltså en matris 2x2. Sedan tar jag denna och multiplicerar med min kvadratmatris för att få ut en spegling? Om jag nu gjort rätt, hur kan jag kontrollera att allt blivit rätt?

Edit: Eller jag kanske ska köra tan(-2/1) för att få ut vinkeln?

Ditt H där är speglingsmatrisen för vinkeln v. Vinkeln v får du genom att räkna ut tangens av riktningskoefficienten för linjen. I detta fallent då arctan(-2).

Sedan gör du så att multiplicerar matrisen med varje (vektor), och ser vart de nya vektorerna hamnar. Dessa nya vektorer kommer då att bilda ett parallellogram(möjligen en kvadrat men jag tror ej det) speglat med avseende på y=-2x.

arctan(-2) = b

Då blir matrisen:

(cos2b, sin2b)
(sin2b, -cos2b)

Denna matrisen skall du multiplicera med varje vektor.

Tex vektorn (2 1):

(cos2b, sin2b) (2)
(sin2b, -cos2b)(1)

Detta är då vektorn (2 1) speglad med avseende på y=-2x.

Hur kan jag kontrollera att speglingen är rätt?

Det kan du göra genom att beräkna skalärprodukt emellan riktningsvektorn för linjen du speglar med avseende på och vektorn som går emellan hörn 1 på kvadraten och det nya hörn 1 på kvadraten.

Detta värde skall vara lika med noll, eftersom speglingen går vinkelrätt(ortogonalt) igenom linjen du speglar med avseende på.

Tex såhär:

(cos2b, sin2b) (1)
(sin2b, -cos2b)(2)

Detta ger en vektor, jag kallar den (x y)

(1 2)-(x y) är då sträckan (en ny vektor) emellan den nya kvadratens ena hörn och den gamla kvadratens ena hörn. Denna sträckan skall vara ortogonal emot en riktningsvektor för linjen du speglar med avseende på. Är inte skalärprodukten noll så har du räknat fel. Konstruera det gärna geometriskt så du ser exakt vad en spegling innebär i ℝ².

För övrigt så hade du ett ganska jobbigt tal att räkna med, blir en skum vinkel.