Analysdugga2 (minitenta): inget facit

Har inget bättre för mig, så jag tar ett par till:

1.

a)
sin2x = 1/2 ⇔ 2x = arcsin(1/2) + 2π·n eller 2x = π - arcsin(1/2) + 2π·n ⇔ 2x = π/6 + 2π·n eller 2x = π - π/6 + 2π·n ⇔ x = π/12 + π·n eller x = π/2 - π/12 + π·n ⇔ x = π/12 + π·n eller x = 5π/12 + π·n.

Svar: x = π/12 + π·n eller x = 5π/12 + π·n där n ∈ Z.

b) ln(x + 8) - lnx = 3ln2, x > 0, x + 8 > 0 ⇒ x > 0.

ln(x + 8) - lnx = ln2³ = ln8 ⇒ ln((x + 8)/x) = ln(8) ⇒ (x + 8)/x = 8 ⇒ x + 8 = 8x ⇔ 7x = 8 ⇔ x = 8/7

Då 8/7 > 0 så är det en giltig lösning till ekvationen. Att vi kan plocka bort ln-funktionen beror naturligtvis på att den är injektiv.

Svar: x = 8/7

c) x³ - 5x² - x + 5 = 0

Sätt p(x) = x³ - 5x² - x + 5. Börja med att gissa en heltalsrot. Om du tittar på den sista konstanttermen får du information om vilka heltal som skulle kunna vara rötter; i det här fallet har vi 5 som är delbart med ±1, ±5. Testa någon av dem, och den som uppfyller p(α) = 0 utför du polynomdivsion med, alltså faktorn (x - α). Nu visar det sig dock att p(-1) = p(1) = p(5) = 0, men jag tror att din examinator vill se att du behärskar polynomdivision.

Svar: x = -1, 1, 5

Har heller inget bättre för mig.

Dugga 2, 1a):

cos(2x+π/6) = 1/√2 ⇔
arccos(cos(2x+π/6)) = arccos(1/√2) ⇔
2x+π/6 = π/4+2πn ⇔
2x = π/4-π/6+2πn ⇔
2x = π/12+2πn ⇔
x = π/24+πn

eller, nedan, eftersom cosinus är en jämn funktion.

-2x-π/6 = π/4+2πn
x = -5π/24+πn

Svar:

x₁ = π/24+πn
x₂ = -5π/24+πn
Där n∈ℤ

2a) Ange definitions- och värdemängd till f(x) = √(4x-x²), ange inversen om den existerar.
f(x) = √(4x-x²), rotfunktionen är endast definierad för icke negativa reella tal.

√(4x-x²) = 0 ⇔
4x-x² = 0
⇔
x₁ = 0
x₂ = 4

Detta ger också definitionsmängden till rotfunktionen, eftersom den sammansatta funktionen måste ha en värdemängd större än noll, för att rotfunktionen skall ha en positiv definitionsmängd. Vi vet att det är en ledsen kurva eftersom x kvadrat är negativ så mellan 0 och 4 ha vi en konkav funktion, alltså en positiv värdemängd.

Skall derivera å ha mig nu:

a = √(b)
b = 4x-x²

Da = 1/(2√b)
Db = 4-2x

Stoppar in skiten:

D √(4x-x²) = Da*Db
1/(2√(4x-x²))*(4-2x)
(4-2x)/(2√(4x-x²))
(2-x)/√(4x-x²)

Löser där lika med noll:

(2-x)/√(4x-x²) = 0
2-x = 0
x = 2

Beräknar punkten där tangentens riktningskoefficient är noll:

f(2) = 2
⇒ punkten (2,2)

Eftersom:

f(x₁) ≤ f(2) ≤ f(x₂)

Så är funktionen ej injektiv över hela dess definitionsmängd, det kunde vi antagit innan men lika bra att göra alla stegen fullt analytiskt, som en maskin. Ingen invers existerar över hela definitionsmängden.

Svar:

D_f = [0,4]
V_f = [0,2]