Analysdugga2 (minitenta): inget facit

Hej.

Vi fick 2 duggor att träna på inför duggan som kommer om några dagar. Men vi fick inga uträkningar eller svar till dem.

Någon/några som kanske vill ge lite lösningar och svar till dem? Verkar ju som många har matte som intresse.!
Skulle sitta jättefint!

Här är de:

http://www.mai.liu.se/~maber/kurser/...2%20090930.pdf

http://www.mai.liu.se/~maber/kurser/...0081001%20.pdf


Svaren till duggan från 2009 prioriteras kan man säga.


Tacktack allihop på förhand!

Jag tar gränsvärdena då.

3.

a)
lim {x → 0} (√(1 + x) - 1)/x =
lim {x → 0} (√(1 + x) - 1)(√(1 + x) + 1)/(x·(√(1 + x) + 1)) =
lim {x → 0} (1 + x - 1)/(x·√(1 + x) + 1) =
lim {x → 0} x/(x·√(1 + x) + 1) =
lim {x → 0} 1/(√(1 + x) + 1) = 1/(1 + 1) = 1/2

b)
lim {x → ∞} (3x² - 5x + 1)/(x² + 6) =
lim {x → ∞} x²(3 - 5/x + 1/x²)/(x²(1 + 6/x²) =
lim {x → ∞} (3 - 5/x + 1/x²)/(1 + 6/x²) = 3/1 = 3

c) Kontinuerlig om f(x) → a när x → 0.

lim {x → 0} sin(20x)/(x + 2x³) =
lim {x → 0} sin(20x)/20x · 1/(1/20 + x²/10) = 1·1/(1/20) = 20

Därmed får vi kontinuitet för ∀ x om a = 20.

Derivera mha derivatans definition:

f(x) = 3x+1

f'(x) = lim [Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx ⇔
f'(x) = lim [Δx→0] [3(x+Δx)+1-3x+1]/Δx ⇔
f'(x) = lim [Δx→0] [3x+3Δx-3x]/Δx ⇔
f'(x) = lim [Δx→0] [3Δx]/Δx ⇔
f'(x) = lim [Δx→0] [3]

Om du är obekant med Δx så står det ibland h istället, men det är extremt mycket bättre att skriva Δx eftersom h egentligen kan vara vad fan som helst. h är ju skillnaden i x, alltså Δx (delta x).

Svar: f'(x) = 3

y = (3x²+x)sin5x

Jag kommer derivera med deriveringsoperatorn D och substituera funktioner för att göra det lättöverskådligt.

Funktionerna:

(3x²+x) = f
sin(a) = g
5x = a

Dess derivata:

Df = 6x+1
Dg = cos(a)
Da = 5

Ursprungsfunktionens derivata:

D (3x2+x)sin5x = Df·g+f·Dg·Da

Nu stoppar vi bara in alla värden vi har räknat ut:

Df·g+f·Dg·Da = (6x+1)·sin(5x)+(3x²+x)·cos(5x)·5 =
(6x+1)·sin(5x)+(3x+1)·cos(5x)·5x

Svar:

(6x+1)·sin(5x)+(3x+1)·cos(5x)·5x

Det ovan är helt rätt, men det ska ju vara f(x) = √(3x + 1). Om du vill göra ett till försök på den är ett tips att förlänga med konjugatet!

Men bajs, va dum jag är. Tyckte väl den var lite väl lätt lol.

Vi börjar förenkla:

y = 1/√(1+1/x²) ⇔
y = (1+1/x²)^(-1/2)

Substituerar:

1+1/x² = g
(g)^(-1/2) = f

Dy = Dg·Df

Deriverar substitutionerna:

Dg = -2/x³
Df = ((g)^(-3/2))/(-2)
Df = ((1+1/x²)^(-3/2))/(-2)

Stoppar nu in hela skiten:

Dy = Dg·Df

-2/x³·((1+1/x²)^(-3/2))/(-2) =
1/x³·1/(1+1/x²)^(3/2)) =
1/x³·1/(1+1/x²)^(3/2)) =
1/(√(1+1/x²)³·x³)

Svar:

Dy = 1/(√(1+1/x²)³·x³)

Dugga 2:
3a)

lim [x→2] (x²+x-6)/(x³-2x²+x-2)

Löser:

x²+x-6 = 0 ⇔
x₁ = -3
x₂ = 2
⇒
x²+x-6 = (x-2)(x+3)

Polynomdivision:

(x³-2x²+x-2)/(x-2) = x²+1

Förenklar och löser:

lim [x→2] (x-2)(x+3)/(x²+1)(x-2)
lim [x→2] (x+3)/(x²+1) = 5/5 = 1

lim [x→∞] √(x²+4x)-x
Ett problem av typen oändligheten minus oändligheten med kvadratrötter, förlänga med konjugatet brukar vara fiffigt då.

lim [x→∞] (√(x²+4x)-x)(√(x²+4x)+x)/(√(x²+4x)+x) =
lim [x→∞] (x²+4x-x²)/(√(x²+4x)+x) =
lim [x→∞] 4x/(√(x²+4x)+x) =
lim [x→∞] 4x/(x√(1+4/x)+x) =
lim [x→∞] 4/(√(1+4/x)+1) =
lim [x→∞] 4/(√(1)+1) = 4/2 = 2

Derivera med derivatans definition:

f(x) = x²+5x+3

Beräknar gränsvärdet:

f'(x) = lim [Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
f'(x) = lim [Δx→0] [(x+Δx)²+5(x+Δx)+3-x²+5x+3]/Δx
f'(x) = lim [Δx→0] [(x+Δx)²+5x+5Δx+3-x²-5x-3]/Δx
f'(x) = lim [Δx→0] [(x+Δx)²+5Δx-x²]/Δx
f'(x) = lim [Δx→0] [2xΔx+Δx²+5Δx]/Δx
f'(x) = lim [Δx→0] [2x+Δx+5]
f'(x) = 2x+5

Svar:

f'(x) = 2x+5

f(x) = ln(√(1+1/x²))
f(x) = (1/2)*ln(1+1/x²)

b = 1+1/x²
a = (1/2)*ln(b)
f'(x) = Db·Da

Beräknar derivatan:

Db = -2/x³
Da = 1/2b
Da = 1/(2+2/x²)

Stoppar in skiten och förenklar:

f'(x) = Db·Da
f'(x) = (-2/x³)·(1/(2+2/x²))
f'(x) = -2/(2+2/x²)x³
f'(x) = -2/(2x³+2x³/x²)
f'(x) = -1/(x³+x)
f'(x) = -1/(x³+x)

Svar:

f'(x) = -1/(x³+x)

(√[3(x+h)+1] - √[3x+1])/h = (3x+3h+1 - (3x+1))/{h·[√(3(x+h)+1) + √(3x+1)]} = 3/(√[3(x+h)+1] + √[3x+1]) → 3/(2√[3x+1]) då h→0. Kontroll med vanlig derivering ger att detta verkar vara korrekt.