Få ut en punkt i ett diagram.

Ändpunterna A och B för hypotenusan i en rätvinklig triangel ABC ges av A : (4,5) och B : (6, -6). Triangelns tredje hörn C ligger på y-axeln. Bestäm koordinaterna för punkten C.

Jag blankar ut totalt när jag ska svara på detta. Det känns som att det något enkelt som man bör kunna men får inte ut C..

Har ritat upp diagramet och allt men får inte ut hur man löser det..

Mitt huvud säger att det borde vara någonstans i origo.
Det praktiska är om du är osäker att ta en vinkelhake eller något annat 90 gradigt föremål och mät/testa.

P=(0,2) löser problemet. Är det en gymnasieuppgift?

Kan inte C ligga i både (0,-3) och (0,2)?

Man löser det väl enklast genom att bilda skalärprodukten mellan vektorerna som utgör triangelns kateter?

Ja, (0,-3) löser också problemet. Hade fått för mig att problemställningen gällde y>0...

Gjorde f.ö. precis så, bildade två vektorer bestående av kateterna till triangeln och satte skaläprodukten mellan dem till noll. Det var därför jag undrade om det var en gymnasieuppgift, eftersom jag inte direkt ser något sätt att lösa det utan skalärprodukt.

Vi kan nyttja kunskaperna om räta linjens ekvation för att lösa uppgiften och linjära ekvationssystem med två obekanta och två ekvationer, trigonometri skulle också fungera men det är onödigt krångligt.

En linje är vinkelrät mot en annan om och endast om produkten av riktningskoefficienterna för de två linjerna är lika med -1.

Vi har alltså en linje som skär y-axeln i ett givet värde, men vi vet inte vilket. Detta värdet är m-värdet, och det skall vara samma för båda linjerna, annars är de inte på samma punkt på y-axeln.

För att göra uppgiften lätt att illustrera kallar vi k = Δy/Δx. Den vinkelräta linjen har riktningskoefficienten k' = -Δx/Δy. Vi måste subtrahera m ifrån delta y, eftersom det kommer att förändra lutningen på linjen beroende på vilket m vi väljer.

att k = Δy/Δx är vinkelrät mot k' = -Δx/Δy är ett resultat av k*k' = -1

Ekvationssystemet:

y = (Δy-m)x/Δx+m
y = -(Δx)x/(Δy-m)+m
⇔
y = (5-m)x/4+m
y = -6x/(-6-m)+m
⇔
y = (5-m)x/4+m
y = 6x/(6+m)+m

Nu är det "bara" att börja lösa:

(5-m)x/4+m = 6x/(6+m)+m
(5-m)x/4 = 6x/(6+m)
(5-m)x = 24x/(6+m)
(5-m) = 24/(6+m)
(5-m)(6+m) = 24
30+5m-6m-m² = 24
6-m-m² = 0
⇔
m₁ = 2
m₂ = -3

I dessa m-värden skall de två räta linjerna skära varandra, alltså där skall den tredje punkten ligga. m-värden vet vi ju korresponderar mot punkten (0,m) eftersom x alltid är noll på y-axeln.

Svar:
Punkterna (0,2) och (0,-3)