Linjär Algebra, parameter

Jag förstår inte riktigt hur jag ska gå tillväga att använda dessa; vi har

a + 2b + c + 4d = 2
a - b + 2c - d = 1
3a + 5c + d = 4

Efter lite fippel kommer jag fram till

a + 2b + c + 4d = 2
0a + 5b + 0c - 0d = 3
0a + 0b + 0c + d = 0

V ser här att d = 0. Hur fortsätter jag sen?

Jag skrev svaret såhär

a=2-(10/3)-c
b=5/3
c=c
d=0

Facit hade något annat. Någon som kan räcka ut en hjälpande hand? Blir även väldigt tacksam för en grundlig förklaring om hur parametrar användes.

Vad du skall göra att tilldela en parameter till de variablar som inte motsvaras av en ledande etta.
I detta fall är det ju C som du kan sätta till t.
En parameter är ett godtyckligt värde bara.

a=-4/3-t
b=5/3
c=t
d=0

Då blir lösningen (-4/3,5/3,0,0)+t(-1,0,1,0)

vilket motsvarar en linje.

Och du kan säkert se mönstret ovan. Vid t=0 så är punkten på linjen (-4/3,5/3,0,0) och så är riktningsvektorn (-1,0,1,0).

Med reservation för fel.

Du skall alltså lösa ekvationssystemet? Skriv koefficientmatrisen på trappstegsform

1 a b | d
0 1 c | e
0 0 1 | f

Sedan gausseliminerar du dig uppåt igen så mycket det går. Om du inte kan erhålla trappstegsform så eliminera dig uppåt så mycket du kan (det skall du göra även om du har trappstegsform). Lätt kan man då säga att "den variabeln du har för mycket av" skall du variabelsubstituera med t. I ditt fall, när du har 4 okända och tre ekvationer finns det ingen entydig lösning.

a + 2b + c + 4d = 2
a - b + 2c - d = 1
3a + 5c + d = 4
⇒
1 +2 1 +4 | 2
1 -1 2 -1 | 1
3 +0 5 +1 | 4
~
1 +2 1 +4 | 2
0 -3 1 -5 | -1
0 -6 2 -11 | -2
~
1 +2 1 +4 | 2
0 -3 1 -5 | -1
0 +0 0 +1 | 0
~
1 +2 1 0 | 2
0 -3 1 0 | -1
0 +0 0 +1 | 0
~
1 2 +1 0 | 2
0 3 -1 0 | 1
0 0 +0 1 | 0
~
1 5 +0 0 | 3
0 3 -1 0 | 1
0 0 +0 1 | 0

Tillåt mig kalla de x,y,z,w ifrån ordningen höger till vänster.

x = 3-5t
y = 0+t
z = -1+3t
w = 0+0t

Jag gillar att skriva på parameterform såhär:

(x y z w) = (3 0 -1 0)+t(-5 1 3 0)

Tackar för svaren.
Så meningen med parametrar är att ersätta variabler som inte har en etta som koefficient, right? Precis som Chris sa. Eller finns det en bättre definition?

Nej det är fel, det har inget med etta att göra. Vet du vad pivåelement är?

Om du ser denna:

1 5 +0 0 | 3
0 3 -1 0 | 1
0 0 +0 1 | 0

Så tittar du på varje kolonn(vet du vad en kolonn är? många misstar sig på detta och kollar rader istället).

Titta på varje kolonn, tex börja med kolonnen för x, finns det bara ett enda x där så är x inte en fri parameter. Tittar du på kolonnen för y så ser vi att det finns både 5 och 3, vi har alltså fler y än vi behöver och kan inte eliminera bort dessa utan att skapa något annat. Vi kan då välja y som fri parameter och subsitutera denna till t eller s. t är nog vanligast.

Tittar du seda på z och w så är dessa ensamma i sina kolonner, de är inte fria parametrar.

Då skriver man sedan såhär: (förstår du det steget?)

x = 3-5t
y = 0+t
z = -1+3t
w = 0+0t

Precis vad jag behövde. Tack BengtZz.

Nej, det har givetvis ingenting med etta att göra, men väl med ledande koefficienter som du så väl säger. I en trappstegsmatris är ju de ledande koefficienterna pivotelement.
Sen är det väl upp till var och en om de ledande koefficienterna ska vara ettor eller inte.

Jag slänger in en till här

Begreppet kommuterar. Såsom jag förstått det så innebär det att AB = BA, att det inte är så i allmänhet är uppenbart.

Hur hittar man kommuterande matriser?

A,B =/ E. givetvis.

Säg att vi har

A = (1 , 1 ; 0, 2) och vill hitta kommuterande B, hur gör jag då? Går det utan någon som helst information om B?
(; markerar radbyte)

I övningsboken står lite info om B, vi får följande info och ska bestämma a så att B kommuterar med A. (2 , a ; 0, 1). Som sagt misstänker jag att man kan lösa problemet utan information om B.

Trivialt, men nollmatrisen kommuterar exempelvis. Annars är det väl bara att sätta B = (x₁ x₂; x₃ x₄) och de olika matrismultiplikationerna ger:

AB = (x₁ + x₃ x₂ + x₄; 2x₃ 2x₄)
BA = (x₁ x₁ + 2x₂; x₃ x₂ + 2x₄)

Detta ger oss ekvationsystemet:

{ x₁ + x₃ = x₁
{ x₂ + x₄ = x₁ + 2x₂
{ 2x₃ = x₃
{ 2x₄ = x₂ + 2x₄

Vi ser direkt att x₃ = 0 och x₂ = 0.

{ x₁ = x₄
{ x₂ = 0
{ x₃ = 0
{ x₄ = t

Vi får alltså parameterlösningen (x₁ x₂ x₃ x₄) = t·(1 0 0 1) och vid insättning får du samtliga matriser som kommuterar om jag inte har räknat fel.

Det enda man behöver veta är att de skall vara ett reelt tal skiljt från noll.