Hur utvecklar jag följande integral?

Som topicen lyder. Hur löser man följande integral: http://img835.imageshack.us/img835/870/llklkkl.jpg ? a och b är konstanter.

Börja med att byta till variabeln t = ax och slå ihop termerna under roten. Du kommer att kunna bryta ut a (till någon potens).

Så http://img843.imageshack.us/img843/2990/rrrffr.jpg ?

Nej... När du gör en variabelsubstitution skall du göra den i hela uttrycket, inte bara i en liten del.

Ser nu att jag gav dig fel substitution. Det skulle vara x = at.

Gör substitutionen x = a*sin(v), dx = a*cos(v)dv så kan den förenklas till

4*integral rot(a^2cos^2(v) + b^2sin^2(v))dv från 0 till pi/2.


Att vi har ett fjärdedels varv gånger fyra och uttrycket inuti rottecknet bör nu få en att tänka på ellipser.

Nu vet jag inte riktigt vad som är det smidigaste sättet (och vilka kunskaper du besitter) för att visa att 4*integralen faktiskt blir omkretsen av ellipsen. Det finns dock ingen trevlig formel för omkretsen.

Helt korrekt, formeln för ellipsens omkrets ska tas fram. Kunskaperna jag besitter är gymnasiala.

Hur kommer jag fram till formeln för omkretsen?

Du kommer inte längre än sådär, du kan inte förenkla mera än det där. Formeln för ellipsen kan inte uttryckas på en enkel sluten form. Se till exempel http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse för mer info

Har förenklat hit: http://img687.imageshack.us/img687/4010/asasasasasx.jpg

Hur ska jag fortsätta om jag ändå vill ta fram formeln? Vad måste jag införa och hur?

Jag undrar alltså hur jag, från förenklingen jag kommit fram till, kommer fram till följande: http://img714.imageshack.us/img714/8...jijijijiij.jpg

Du gjorde en räknemiss i sista steget. Multiplicera istället in cos(v) i roten så får du

a*rot(cos^2 + (b/a)^2sin^2)

Använd trig.ettan:

rot(cos^2 + sin^2 + (b^2/a^2 - 1)sin^2) = rot(1 + (b^2-a^2)sin^2 / a^2)

Eftersom e^2 = (a^2-b^2)/a^2 (e ska vara epsilon) enligt definition så blir det i integralen till slut

a*rot(1-e^2sin^2).

Ur definitionen av E(e) följer sedan att C=4aE(e).

Här är själva uppgiften från boken: http://img443.imageshack.us/img443/8961/ghghhggh.jpg . Bågländerna man ska använda i boken kan du se längst ner på följande sida: http://www.math.kth.se/math/GRU/2007.../K/FB/F8.2.gif

Jag är på b) och vill lösa den genom att ställa upp den exakta formeln för beräkning av ellipsens omkrets och på så sätt endast behöva mata in a- och b-värden för beräkning av omkretserna. Är detta bästa sättet att gå tillväga? Det är efter allt MaD-nivå.

EDIT: Hur gör jag efter den här förenklingen: http://img706.imageshack.us/img706/764/dddfaw.jpg ?