Visa att - Determinant i ℝ²

Låt A vara en 2 x 2 matris.
Jag skriver kolonnvektorer som jag skriver punkter.

Då gäller:

A(1,4) = (2,-3)
och
A(5,1) = (-4,6)

Uppgiften:

Visa att det(A) = 0

Jag typ fattar att det(A) = 0 eftersom produkten ger två vektorer med samma (antiparallel) riktning, de kan skrivas som en linjärkombination av varandra med en icke trivial lösning, man kan bryta ut en skalär och få samma vektor osv osv. Är det ens rätt tänk eller är jag ute och cyklar?

Men hur fan gör jag för att visa det? Eller hur kan man mer tänka, jag har inte en jävla aning.

A(1,4) = (2,-3)
och
A(5,1) = (-4,6)

En idé är att multiplicera in -2 i första ekvationen.

-2A(1,4) = (-4,6) = A(5,1)

Sen flyttar vi om lite och bryter ut A:

A(5,1) + 2A(1,4) = 0

A((5,1) + 2(1,4)) = A(7,9) = 0

Alltså är A ej inverterbar eller linjärt beroende etc.. dvs det(A) = 0. (Pga att Ax=0 har en icketrivial lösning.)

Ja tack så mycket!

En annan lösning:

Bilda matrisen B med de två kolonnerna (1, 4) och (5, 1) samt matrisen C med de två kolonnerna (2, -3) och (-4, 6). Då gäller A B = C.

Nu gäller det(A) det(B) = det(A B) = det(C). Du kan beräkna det(B) och det(C) och från dessa dra slutsats om det(A).

Jaa, det var nog mer såhär jag hade tänkt spontant men kunde inte riktigt formulera mig. Alla lösningar är ju bra utom de dåliga, men det finns ju så många olika sätt att lösa allt sådesto fler sätt desto mer förstår jag!

Jag tänker då såhär: (är det rätt?) jag vill räkna så lite som möjligt och resonera istället.

det(A)*det(B) = det(C)

det(C) = 0, eftersom de två rad/kolonnvektorerna har samma riktning i C, då kan inte de spänna upp något parallellogram. det(B) ≠ 0, eftersom kolonn/radvektorerna inte har samma riktning i B. Alltså är det(B) ≠ 0.

Då måste:

det(A)*det(B) = det(C) = 0
det(A)*det(B) = 0
det(B) ≠ 0 ⇒ det(A) = 0

En tredje lösning (som är ganska lik den andra lösningen):

Vi kan mixtra ihop vektorerna vi har för att få standardbasvektorerna:

(1, 0) = (4*(5 1) - (1 4))/19
(0, 1) = (5*(1 4) - (5 1))/19

och alltså är

A(1, 0) = A (4*(5 1) - (1 4))/19 = nånting
A(0, 1) = A (5*(1 4) - (5 1))/19 = nånting annat

och ur detta kan vi få ut exakt vad matrisen A är, och verifiera direkt att dess determinant är 0.


En fjärde lösning (som är närmast de tankegångar du själv skriver i ursprungsinlägget). Vi vet att (1 4) och (5 1) är linjärt oberoende; dessa kommer då vara en bas för R². Men det betyder att vi kan skriva alla v ∈ R² som en linjärkombination av dessa

v = λ(1 4) + µ(5 1).

Men då gäller att

Av = λ(2,-3) + µ(-4, 6)
= (λ-2µ)(2, -3)

det vill säga, för alla v i R² är Av en multipel av (2, -3). Detta betyder att (2, -3) ensamt utgör en bas för värderummet till A, det vill säga, värderummet har dimension 1, det vill säga, rangen av A är 1, vilket då medför att det A = 0.

Jag skulle nog rekommendera att skriva det i termer av linjärt beroende i stället för att blanda in parallellogram eftersom det då även fungerar för större matriser. Annars är allt rätt.

Löser:

det(A)*det(B) = det(C)

det(C) = 0, eftersom de två rad/kolonnvektorerna är linjärt beroende.
det(B) ≠ 0, eftersom kolonn/radvektorerna är linjärt oberoende.

Då måste:

det(A)*det(B) = det(C) = 0
det(A)*det(B) = 0
det(B) ≠ 0 ⇒ det(A) = 0

Något svårare lösningar, jag har precis börjat med linjär algebra xD. Har dock läst grundläggande vektorgeometri innan. Men här rullar det ju på ju! Kan ni komma på fler sätt att lösa desto bättre. Jag känner att determinanten är ett rätt starkt verktyg så jag vill få så bred uppfattning om den som möjligt.

Ahh ja asså. Så alla basvektorer i ett system är då linjärt oberoende? Eftersom en kombination av dessa (linjärkombination) är linjärt oberoende, man kan alltså skapa alla vektorer i det rummet (eller vad säger man?) om man kombinerar dessa på ett godtyckligt sätt. Nu fick jag en helt plöstligt en helt ny uppfattning om det helt vanliga koordinatsystemet. Om jag nu tänkte rätt.

Vad är värderummet till A? Eller hur definierar man värderum?

Om man ser A som en funktion i det här fallet från R² till R² (som alltså tar vektorer v till Av) så visar det sig att värdemängden till A alltid kommer vara ett underrum till R²; och denna värdemängd kallas då värderummet av A.

I kravet för att en mängd av vektorer skall vara en bas ingår att de skall vara linjärt oberoende.


Värderummet är helt enkelt värdemängden till A betraktad som en linjär avbildning. Värdemängden till en linjär avbildning är ett underrum till målrummet; det är därför man talar om värderummet.

Ahh, så man kan alltså se alla linjära avbildningar som funktioner? Inte konstigt egentligen när jag tänker efter. Tex rotationsmatrisen kan man då se som en funktion?!