z = (√(3)/2 + i/2)ⁿ

För vilka n blir z = (√(3)/2 + i/2)ⁿ reell? Svara exakt.

Tänkte så här:

z = (√(3)/2 + i/2)ⁿ = (cos(arctan(4/√(3)) + isin(arctan(4/√(3))))ⁿ = cos((arctan(4/√(3))n) + isin(arctan(4/√(3))n)

Im z = 0 ⇒ sin(arctan(4/√(3))n) = 0 ⇒ sin(arctan(4/√(3))n) = sin(0) ⇒
arctan(4/√(3))n = 2πn₂ ⇒ n = 2πn₂/arctan(4/√(3))
arctan(4/√(3))n = π - 2πn₂ ⇒ n = π/arctan(4/√(3)) - 2πn₂/arctan(4/√(3))

Där n₂ är ett heltal.

Dock blir detta fel.

Det ska inte vara 4/√(3), utan 1/√(3). Och arctan(1/√(3)) borde man känna till vad det är.

Herrejävlar! Och där rök de sista poängen på den uppgiften!

På provet glömde jag

1. ta 1/√(3) istället för 4/√(3)
2. ta arctan för (1/√(3))
3. att sinus även har lösningen π - 2πn

Detta bör ju dock ge mig 1/3 poäng för rätt tankesätt. Lyckades klara den andra soluppgiften dock, som jag hade turen att ha som redovisningsuppgift i D-kursen. Samma uppgift som du hjälpte mig med! Typiskt att man klantar sig på elementär algebra/trigonometri när polletten väl trillar ned.

Jag löser den enligt din metod då, annars finns det ett mycket lättare sätt med enbart argumenten att nyttja. Man behöver sällan räkna speciellt mycket när det är komplexa tal om man vet hur man skall handskas med dem.

w = (√(3)/2 + i/2)
arg w = arctan((1/2)/(√(3)/2)) = arctan((1/2)*(2/√(3))) = arctan(1/√(3)) = π/6
|w| = 1

Om man inte vet vad arctan(1/√(3)) så kan man rita en hjälptriangel.

w = (cos(π/6+2πk)+i*sin(π/6+2πk))

z = (√(3)/2+i/2)ⁿ
z = (cos(π/6)+i*sin(π/6))ⁿ
z = (cos(πn/6)+i*sin(πn/6))

Är reellt när Im(z) = 0 ⇒ sin(πn/6) = 0
Eller fråga sig när sin(x) = 0, lösa ekvationen helt enkelt, då får vi kπ.

Vilket är ekvivalent med att fråga sig när:

πn/6 = kπ
πn = 6kπ
n = 6k
Där k∈ℤ

Svar:
z = (√(3)/2+i/2)ⁿ är reelt för alla n = 6k, där k∈ℤ.

Andra lösningen:

w = (√(3)/2 + i/2)
arg w = π/6
Im(w) = 0 om och endast om arg w = πk
Där k∈ℤ

Detta eftersom ett tal är rent reellt om och endast om argumentet är πk, k, heltal, ""dvs ±π, 0 osv osv."" Tänk på lösningen av ekvationen sin(x) = 0.

Alltså då, när är arg w = πk?

Löser ekvationen:

(π/6)x = πk
x = πk/(π/6)
x = πk*(6/π)
x = 6k

Svar:

6k = n
Där k∈ℤ