Matematik E - Tråden

Vi har precis börjat med rotationsvolymer i matten och jag funderade på en sak: (S=integral)

Volymen av en rotationskropp räknas ut genom: pi*S (f(x))^2

Men borde inte volymen också kunna räknas ut genom att:
1. Räkna ut arean av biten som skall roteras.
2. Multiplicera med 2pi

Jag testade detta på de 2 uppgifter jag hade tillhands och där fungerade det, var det bara flyt eller kan man göra så?

Nvm...

Det integralen gör är just att räkna ut arean av biten som ska roteras.

Menar du att du beräknar 2π ∫ f(x) dx i stället för π ∫ f(x)² dx ? Om det har fungerat borde det bara vara ren tur.

Jo, det var precis vad jag menade.

Jag kom fram till att det fungerade på enkla integraler, typ y=x från 0->2, men när det blev lite svårare funktioner så blev det kass.

Volymer har dimension (längd)^3 vilket ditt uttryck inte har.

Men ... du kan använda Pappos-Guldins 2:a regel för rotationskroppar:
(kroppens volym) = (tyngdpunktens väg) * (roterad area),

V = (2pi) r * A,

där r är Tp-avståndet till rotationsaxeln.

Se även http://www.vias.org/comp_geometry/ge...ral_rules.html :
Volume of a solid of revolution: the volume V of a solid of revolution is equal to the product of the area of the rotated shape and the distance traveled by the shape's geometric centroid. The volume of revolution is created by the revolution of an arbitrary shape about an external axis. This rule is also known as the second theorem of Pappus*), or Guldin's second rule.

*) Pappos på svenska.

Nej, integralen summerar cirkelskivor med en radie som beror av x. Radien är f(x).

I vilket fall har du fel enhet. Det du räknar på nu är en areaenhet. f(x)*dx ger dig en areaenhet.

f(x)*f(x)*dx ger dig en volymenhet.

Tänkte dubbelkolla vad hjärnorna på FB säger om den här uppgiften:

Strömstyrkan y milliampere genom en spole beror av tiden x sekunder enligt ekvationen
Y = 11,2 + 5,28x – 0,044x2 då 0 ≤ x ≤ 60

När ökar strömstyrkan med hastigheten 2,5 milliampere per sekund?

Visst är det bara att derivera och svaret borde då bli X = 695/22?

Tack på förhand.

Hjälp med en lite klurigare variant (enligt mig). Man skall använda sig utav metoden med cylindriska skal.

Det område som begränsas av kurvan y = sqrt(x), linjen y = x och linjen y = 2 får rotera kring linjen y = -1. Beräkna rotationskroppens volym.

Hur ska jag resonera när den inte ska rotera runt y eller x axeln, utan kring en linje?

y = strömstyrkan i milliampere
x = tiden i sekunder
y' = strömstyrkeförändringen i milliampere per sekund

y är en funktion av x, och beror av x. Vi vill veta förändringen av strömstyrkan. Närmare bestämt när strömstyrkans förändring är 2.5 milliampere per sekund. Vi måste då uttrycka förändringen av ampere per sekund, det gör vi lättast genom att derivera, eftersom derivatan av en funktion uttrycker förändringen av en funktion. Nu deriverar vi y, med avseende på x, då får vi förändringen i milliampere (förändringen i y) varje sekund (varje x).

y = 11.2+5.28x-0.044x² ⇔
y' = 5.28-0.088x

Vi vill veta när (för vilket x) denna är lika med 2.5. Då sätter vi alltså strömstyrkeförändringen i milliampere per sekund lika med 2.5.

Dvs:

strömstyrkeförändringen i milliampere per sekund = 2.5 ⇔
y' = 2.5 ⇔
5.28-0.088x = 2.5 ⇔
0.088x = 2.78 ⇔
88x/1000 = 2780/1000 ⇔
88x = 2780 ⇔
x = 2780/88 = 695/22

Tackar för all hjälp hitintills.

nästa nöt:

Välj numeriska värden på konstanterna k och m så att integralen ∫02 (kx+m) dx får värdet 0.