Matematik E - Tråden

Hej!
Har lite problem att lösa följande 3 uppgifter:

Bestäm A så att Ae^-2x blir en partikulär lösning till differentialekvationen y’’ +6y=3e^-2x
(hur ska jag börja?)



Bestäm den lösning till differentialekvationen yy'=x^2 som uppfyller villkoret y(1)=1
(hur tacklar jag y*y'? man brukar dividera allt med y':s factor som i detta fall är y)

och

Vid en fabrik tillverkas jäst i en tank, och omständigheterna är sådana att mängden jäst
har en tillväxthastighet som är proportionell mot jästens massa y kg, med
proportionalitetskonstanten 0,003min^-1. När processen startar finns 200 kg jäst i tanken.

a)Teckna en differentialekvation som beskriver jästens tillväxthastighet.

b)Hur mycket jäst bör det enligt modellen finnas i tanken efter fem timmar?

c)Vid produktionen tar man ut ett konstant flöde av jästmassan.
Teckna en differentialekvation som beskriver jästmassans förändring när man tar ut a kg jäst per minut ur tanken.

d)Hur mycket jäst kan tappas ut per minut om jästmassan i tanken hela tiden skall vara 200 kg?
(här är jag näst intill helt 'att loss')

Tack på Förhand

Ansats: y= Ae^-2x
Sen är det bara att derivera y två gånger och lägga in i ekvationen och jämföra konstanter.

http://www.ict.kth.se/courses/IX0394...1_09100524.pdf
http://www.ict.kth.se/courses/IX0394...2_09100603.pdf
http://www.ict.kth.se/courses/IX0394...mplexa_tal.pdf

På ten1&2 så är det självklart att bara räkna på de komplexa talen.

Ah jättebra, alltså blir det 4Ae^-2x+6Ae^-2x=3e^-2x som ger A=3/10
Fattade jag det rätt?

Japp det är rätt.

Kan någon hjälpa mig med denna uppgift?! Jag förstår hur man löser den grafiskt men kan någon kanske ge en algebraisk lösning?

Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter z för vilka

a) l z-2i l = l z-4i l

b) l z-i l = l z-2 l

absolutbeloppet av ett komplext tal w = a + bi är |w| = sqrt(a^2 + b^2)

a) vi sätter alltså z = a + bi
|a + bi - 2i| = |a + bi - 4i|
|a + (b-2)i| = |a + (b-4)i|
sqrt(a^2 + (b-2)^2) = sqrt(a^2 + (b-4)^2)
a^2 + (b-2)^2 = a^2 + (b-4)^2
b^2 - 4b + 4 = b^2 -8b + 16
4b = 12
b = 3

detta ger oss z = k + 3i
där k är en reell konstant

separera variabler, ydy=x^2dx. Integrera nu båda sidor map dy resp dx, lös ut y. Alternativt kan man direkt notera att yy'=0.5(y^2)' och sedan integrera båda led map dx.
tillväxthastigheten är ju derivatan av jästens massa, dvs y'. Som ska vara proportionellt mot y. proportionalistetskonstant a betyder att y'=ay. Sen är det bara att lösa ekvationen.Säg till om du behöver mer hjälp

Den första vill jag göra x^2*2x=x^2 som man bara vill dela med x^2 vilket ger x=½ som verkar fel.
Jag förstår inte riktigt vad "map" är heller, antagligen ett typo?
I allafall så har jag svårt ett se hur man ska integrera det hela.

på den andra
y'-ay=0
y'=0,003y
y=Ce^0,003t där C är 200 och t står för minuter.
prövar detta genom att se hur mycket jäst man får efter 5 timmar 200e^0,003*360=589kg
sen blir det lite svårt dock.

EDIT: Vänta, är det så att man ska få y' att bli y genom att göra en primitiv funktion av högerled?
alltså ½x^3=y*y
Tack på förhand

"map" står för "med avseende på" (däremot kanske man borde skriva "map x" istället för "map dx" som jag gjorde).

Däremot förstår jag inte alls vart du får din ekvation i x ifrån.
Det där ser bättre ut, men ändå inte helt rätt.

Vi integrerar

ydy=x^2dx

vilket ger

y^2/2=x^3/3+C

(pröva derivera vänsterled map y, högerled map x)

Ser bra ut.

i ekvationen
y'=ay
är ökningen av jästen lika med ay. Om man tar ut en konstant mängd A jäst per tidsenhet, hur bör ekvationen ser ut då?

Är ute och reser och ligger efter med mina Matematik E studier.

Enkelt tal antagligen men i min nuvarande situation så uppskattas lite hjälp.

Ekvationen som ska lösas lyder:

z3 + 6z2 + 11z = 0


Vänder mig till kunskapskällan här på FB.

Kan ju förtydliga detta lite. Om du har en funktion som y*y'=f(x), så vet du att y'=dy/dx. Dvs, vi har
y*dy/dx=f(x)
Det är tillåtet att använda vanliga algebraiska operationer på differentialoperatorerna (dy och dx), alltså kan vi gångra upp dx till andra sidan.
y*dy=f(x)*dx
(y^2)/2 = F(x)+C

Edit: såg ej datumet. Kanske inte var helt relevant längre. :P