Matematikproblem

Visa att sqr(x^2)=|x|

Finn alla heltalslösningar till xy = 2x − y



Tack på förhand!

sqr(x^2)=|x| <=> x^2 = |x|^2 - då |x| alltid är positivt behöver vi inte lägga till +/-. Absolutbeloppet kvittar då kvadraten alltid blir positivt. Vi får då
x^2 = x^2

xy = 2x − y <=> xy + y = 2x <=> y(x+1) = 2x <=> y = 2x / (x+1)
Polynomdivision ger då
y = 2 - 2/(x+1)
För vilka x får vi att 2/(x+1) är ett heltal?

Antar att svaret på den sista då blir: För alla heltalsslösningar då x≥1 ∈ Z

Eller är jag ute och cyklar. Om inte formulerar jag svaret rätt?

Även negativa tal är heltal

Ja det är ju sant. Dock är funktionen inte definierad för x=-1, men hur skall man formulera svaret på ett korrekt och matematiskt sätt?

Sedan undrar jag en sak till. Här har vi ju en funktion, så det är alltså inte lösningen på ekvationen vi skall finna (värdet på x), utan bara vilka heltal för x som är definierade? Dvs. värdemängden för y då x gäller för alla hela tal, förutom -1 i det här fallet.

y = 2 - 2/(x+1)
2/(x+1) blir ett heltal endast om nämnaren är -2, -1, 1 eller 2. Dvs det finns heltals lösningar om
x = -3, -2, 0 eller 1.

Funktionen är definerad i hela R förutom i x = -1 dvs [-inf, -1)u(-1,inf]
Ursäkta mina fula termer!

Ja, funktionen är definierad i hela R förutom i x=-1 men inte definierad för alla Z (heltal). Men uttrycket:

2/(x-1) måste ju tillhöra Z (eftersom vi har ett heltal 2 med i uttrycket), då kan ju inte x-värdet vara -3 eller 1.
Ty x=-3 ger y=2.5 och x=1 är ej definierbart. Eller uppfattar jag det fel?

Nu böt du tecken i nämnaren.

2/(x+1) tillhör Z för x=-3 och x=1

Du har däremot rätt i att 2/(x-1) inte tillhör Z då x=-3 och x=1. Men det var inte vad vi hade från början.

Mitt fel! Men jag förstår iaf. Däremot är jag osäker på hur du polynomdividerade uttrycket?