Nu ska ni lära mig att faktorisera en gång för alla!

Japp, denna faktorisering verkar ej försvinna. Är nu uppe i kursen Matematik C och har fortfarande inte fått knyst om hur man egentligen ska tänka för att lyckas faktorisera ett visst tal!

Är nu uppe i att faktorisera polynomer.
Låt mig visa två exemplar till att börja med:

1) x^2 + 8x + 16
2) 2x^2 + 8x - 10

Så ni som är kunniga inom den matematiska verksamheten, det vore en ära att få hjälp av er!

1) x^2 + 8x + 16
2) 2x^2 + 8x - 10

1.

x^2+8x+16=0 --> x=-4±sqrt(16-16)=-4±0

(x+4)(x+4)

kontroll: x(x+4)+4(x+4)=x^2+4x+4x+16=x^2+8x+16

2.

2x^2 + 8x - 10=0 --> x^2+4x-5=0

x=-2±sqrt(4+5)=-2±sqrt(9)=-2±3, x1=1 , x2=-5

2(x-1)(x+5)

För andragradspolynom, som i fallet ovan:

Faktorisera ut eventuell koefficient framför x^2:
1) x^2 + 8x + 16 (inget att faktorisera ut)
2) 2(x^2 + 4x - 5)

Sök nollställena x1 och x2 till polynomet (det som är kvar efter föregående steg):
1) x^2 + 8x + 16 har x1 = x2 = 4 som dubbelt nollställe
2) x^2 + 4x - 5 har nollställena x1 = 5 och x2 = -1.

Faktorisera polynomet som (x-x1)(x-x2):
1) (x-4)(x-4) = (x-4)^2
2) (x-5)(x+1)

Faktoriseringen av det ursprungliga polynomet fås genom att ta med den utfaktoriserade x^2-koefficienten:
1) (x-4)^2
2) 2(x-5)(x+1)

På det första talet kan du bara köra PQ formlen som post #2 visade. På det andra talet är det nästan likadant, men som du ser är det en tvåa ivägen. Så den måste du faktorisera ut. Då blir det 2(x^2 + 4x - 5). Nu kan du köra PQ formlen på den med och få ut x.

I övriga tal är det lättast att kolla om det är någon kvadreringsregel eller konjugataregel som kan användas. Det brukar oftast bara vara någon siffra man behöver faktorisera ut för att kunna använda någon av reglerna.

Tack! Känns aningen lättare nu faktiskt, uppskattat.
Dock, om ni har lite tid över någon gång, kunna förklara hur man t.ex. faktoriserar tal eller uppgifter som nedanstående. Kan ta några ur boken för att göra det enkelt för er:

Godkänd nivå;
1) Ett polynom av fjärde graden har fyra nollställen, -2, 0, 1 och 2. Dessutom vet vi att p(-1) = 6. Skriv polynomet i faktoriserad form.

Väl godkänd nivå;
2) Faktorisera följande polynom:
a. x^3 - 2x^2 + x
b. x^4 - 1
c. x^4 + 18x^2 + 81

Mycket Väl Godkänd nivå;
3) Faktorisera följande polynom:
a. x^4 - 81

Som sagt, mycket uppskattat att få sno er tid åt detta lite grann!

x^4-81 = (x^2+9)(x^2-9) = (x^2+9)(x-3)(x+3)

Vi ska lära dig i den ädla konsten att SÖKA innan man skapar en trådjävel.

https://www.flashback.org/t1016097
https://www.flashback.org/f273

Förstått?

Två viktiga regler:
Om x = x0 är ett nollställe till ett givet polynom, så är x-x0 en faktor i polynomet.
Ett polynom har högst lika många nollställen som polynomets grad är.

Ovan har vi ett polynom av grad 4. Detta har alltså högst 4 nollställen. I uppgiften är 4 nollställen givna. Dessa måste alltså vara polynomets samtliga nollställen.

Enligt den första regeln är därför x+2, x, x-1 och x-2 faktorer i polynomet. Utöver dessa kan vi ha en konstant faktor; låt oss beteckna den med C. Vi kan alltså skriva polynomet
p(x) = C (x+2) x (x-1) (x-2).

För att bestämma C utnyttjar vi att p(-1) = 6:
6 = p(-1) = C (-1+2) (-1) (-1-1) (-1-2) = C * 1 * (-1) * (-2) * (-3) = -6 C

Alltså, C = -1 och polynomet är p(x) = - (x+2) x (x-1) (x-2).


a. Börja med att bryta ut x som ju finns i varje term. Faktorisera sedan det andragradspolynom som du får som den andra faktorn.
b. Enligt konjugatregeln är x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1). Nu har du två andragradare som du själv kan försöka faktorisera.
c. Här har du en andragradare i x^2. Om du sätter t = x^2 kan du skriva polynomet som t^2 + 18t + 81. Faktorisera detta och byt tillbaka t mot x^2. Försök sedan faktorisera de andragradsfaktorer du får.


Väldigt lik 2 b ovan. Notera att 81 = 3^4.

Han kan inte komplexa tal än

Han kan inte komplexa tal än

Edit: x^2+1 går inte att faktorisera mer i reella talen. Däremot kan du (op) försöka faktorisera x^2-1

Det var en av anledningarna till att jag skrev "försöka".