Simpel fråga om fourier transformation

Jaha. Du sätter bara flera käppar i hjulet för mig. Hur ska jag klara av att se om en produkt av funktioner konvergerar eller inte!?!?!

Mycket byråkratiskt matematiskt snack. Men vad betyder det egentligen?

(Och analysböcker är inte mina vänner; de är för komplicerade.)

Med den inställningen tror jag dock det är knepigt att lära sig se när olika uttryck konvergerar...

Vilken del dock?

Delarna att inte vilja sätta sig in i definitionen av konvergens, och att inte vilja ta upp en analysbok.

Jag vill sätta mig in definitionen, men jag förstår den inte.
Analysböcker är helt enkelt för komplicerade eftersom de tar upp mer av detta matematiskt byråkratiska snacket. Jag förstår mig inte på det helt enkelt.

Jag är villig att försöka lära mig, men jag kan helt enkelt inte sätta mig in i vad det säger och varför.

Är det ordförståelsen du har svårt för?

Alltså, det går ju att få en enklare förståelse för konvergens utan att kunna allt det formella. Men då behöver du åtminstone en god dos geometrisk intuition för det komplexa talplanet, åtminstone. Kan du se hur värdena på funktionen e^(iωt)e^(-t) ligger när t -> ∞, t.ex?

Nja, alltså det är sådana uttryck som:

Men ytterst så är det bara att gå tillbaka till definitionen: Om z(t) är ett komplext uttryck, med t en reell parameter, så går z(t) mot det komplexa talet w när t går mot ∞ omm det för varje rellt ε > 0 existerar ett reellt M så att för alla t > M gäller |z(t) - w| < ε.

Om jag analyserar detta ser jag:
Ett komplext z(t) konvergerar mot ett tal w då t → ∞ (och t skall vara reell; dock vet jag inte varför den måste vara reell; vad händer om den är komplex?). Okej. Det är inga problem.
Men för att detta skall gälla skall följande villkor vara uppfyllda:

|z(t) - w| < ε

Där alltså differensen mellan z(t) och det tal w som det konvergerar mot skall vara mindre än det lilla talet ε (som skall vara reellt och större än 0; vad händer om det är komplext?).
Dessutom skall det existera ett M (återigen reellt, varför?) så att för alla t > M så skall |z(t) - w| < ε vara uppfyllt.
Detta ska gälla för alla värden på ε.

Detta:
|z(t) - w| < ε
Ser ut som att avståndet mellan z(t) och talet det konvergerar mot skall vara mindre än ε.
Men sedan kommer det till extra villkor som säger att det för varje ε så ska det finnas någon gränspunkt, M, efter vilka alla t uppfyller villkoret |z(t) - w| < ε.

Men vad ska detta nu innebära?
Det säger mig att för varje ε skall villkoret |z(t) - w| < ε gälla för ett visst t (som troligtvis < ∞).
Men vad detta innebär vet jag inte.

Detta är vad jag har listat ut efter många torterade minuter av analysering av texten.

Hmm. Idén var alltså att du hade sett motsvarande definition, fast bara för reella funktioner, innan, och tanken var att då är "hoppet" för att förstå den här komplexa definitionen inte långt. Har du gjort det?

Om det är som du säger så kommer e^(iωt) endast att snurra runt i det komplexa talplanet (det är trots allt polära koordinater och t är alltså en multipel av perioden ω).
e^(-t) kommer ju gå mot 0, så den ena termen är begränsad och den andra går mot 0, så därför måste det konvergera mot 0.

Ja, men förstår du varför det är så?

Annars så kommer du bara behöva memorera en meningslöst lång lista på olika regler för när saker konvergerar, och det är inte säker på att dessa täcker alla situationer som kan tänkas uppstå.

Jag kan inte säga att jag har sett den, och även om jag hade, skulle jag inte ha förstått den. Jag kan inte minnas några regler för konvergens. Du punkterade mina argument förut för konvergens.
Jag kan ju ett antal regler för gränsvärden dock. Men något begränsat gånger något oändligt är oändligt och något begränsat gånger 0 är ju 0.