Simpel fråga om fourier transformation

Ahhh, det är sant!
Det märks att jag inte har räknat många fouriertransformationer!

Fler elementära frågor:
Fourier transformationen av e^7, t < 0, 0, t >= 0.
Jag får det som
∫(e^(-i*omega*t)e^t)dt för -oändligheten till 0:
∫(e^(t[-i*omega+1]) = [e^(t[-i*omega+1])/(-i*omega+1)] = [e^(-i*omega*t)e^t/(-i*omega+1)]
Och här blir det ju problem. Den första termen går mot +oändligheten då t går mot -oändligheten och den andra termen går mot 0. Vad blir svaret här? Vad är 0 * oändligheten?

Menar du funktionen f definierad genom
f(t) = e^t för t < 0
f(t) = 0 för t > 0
?


Faktorn e^(-iωt) går inte alls mot +∞ då t går mot -∞, eftersom |e^(-iωt)| = 1 och alltså är begränsat. Däremot går e^(-t) mot 0 då t går mot -∞.

Suck. Mycket fel här överallt.

Låt mig försöka igen. Definitionen av funktionen är:

f(t) = e^t för t < 0
f(t) = 0 för t ≥ 0

∫(e^(-iωt)e^t)dt för -∞ till 0:
∫(e^(t[-i-iω+1]) = [e^(t[-iω+1])/(-iω+1)] = [e^(-iωt)e^t/(-iω+1)]

Så vi har två faktorer i täljaren:

e^(-iωt)
och
e^t

Så vi får

e^(iω*0)e^0 då t → 0 => e^0*e^0 = 1
och
e^(iω∞)e^(-∞) då t → ∞ = ∞*0?

Men såvitt jag vet så måste e^(iω∞) gå mot ∞?

Nej. Rita upp värden för e^(iωt) i det komplexa talplanet när t ökar.

e^(iωt) går mot ∞ då t går mot -∞ endast om om ω har en positiv imaginärdel, vilket dock inte är fallet nu.

Har du glömt bort likheten e^(iωt) = cos(ωt) + i sin(ωt) som medför att |e^(iωt)| = 1 ?

Jag antar att det är begränsat eftersom det inte beror av t? Jag får dock inte absolutbeloppet till 1.
Jag enda jag får är √(cos(x)^2+(-1)sin(x)^2) och jag är inte tillräckligt bra på att manipulera trigonometriska funktioner för att få ut någonting ur det.

Jag känner dock till Eulers formula, men jag är inte särskilt bra på gränser med komplexa tal (första gången jag gör det!).

Absolutbeloppet ska bli √(cos(x)^2+sin(x)^2), och det känner du säkert igen som 1 genom trigonometriska ettan.

Det värdet på funktionen e^(iωt) gör är att bara snurra runt runt i enhetscirkeln i det komplexa talplanet när t ökar. Så absolutbeloppet är hela tiden 1.

Trigonometriska ettan känner jag igen. Men kan jag alltså ta det som att absolutbeloppet på ett komplext tal kan vara en "guide" som säger om talet konvergerar mot något värde?

Njä, e^(-iωt) konvergerar i sig inte mot något värde. Den snurrar som sagt runt runt mest. Däremot så hade du

e^(-iωt) e^t

där t -> -∞, och detta konvergerar mot 0. Det vi egentligen använder här är alltså att om f(t) är en funktion från R till C, så att

|f(t)| -> 0

när t -> -∞, så kommer ävan f(t) -> 0.

Om vi sätter om definitioner på när en integral konvergerar.
Om vi har någon...

f(t)g(t)

...så kommer integralen att konvergera om:

- Både f och g båda är begränsade.
- Antingen f eller g är begränsad och den andra går mot 0 (vi kanske skulle kunna definiera detta som begränsad?).

Dvs, integralen divergerar om f eller g går mot ∞.
Om funktionen är reell så kan vi använda oss av gränsvärdesberäkning genom t ex att stoppa in t och se om funktionen konvergerar.
Om funktionen är komplex är lite mer komplicerat. Enligt min uppfattning då kan vi ta absolutbeloppet av denna funktion. Om absolutbeloppet konvergerar så konvergerar även funktionen (om jag inte har fel?). Annars kanske det finns några andra metoder?

Integralen och integralen, men uttrycket f(t)g(t) konvergerar om:


Nej, låt t.ex. f(t) = 1, g(t) = sin t. Denna är begränsad men konvergerar inte.


Ja.


Nej, den kan fortfarande konvergera om den andra går mot 0 tillräckligt snabbt. T.ex. f(t) = t, g(t) = 1/t².


Nej. Om absolutbeloppet konvergerar mot 0 så konvergerar även uttrycket mot 0 däremot.

Egentligen kan du använda att ett komplext uttryck z(t) konvergerar omm både realdelen och imaginärdelen av z(t) konvergerar.

Men ytterst så är det bara att gå tillbaka till definitionen: Om z(t) är ett komplext uttryck, med t en reell parameter, så går z(t) mot det komplexa talet w när t går mot ∞ omm det för varje rellt ε > 0 existerar ett reellt M så att för alla t > M gäller |z(t) - w| < ε.

Och för att se vilka av räknelagarna för rella gränsvärden som fortfarande gäller för den här komplexa definitionen, och vilka andra trevliga regler som man kan hitta, är det bara att försöka bevisa dem från scratch igen. (Här hjälper det att komma ihåg motsvarande reella bevis!)

(Alternativt så kan du säkert hitta nån analys-bok som behandlar det här.)