Linjär Algebra Matrisproblem

Är det någon som har ett förslag på hur jag ska lösa den här uppgiften?

Ange alla vektorer X (3x1-matris) för vilka AX = 3X om

(4 5 -1)
(4 -6 5) = A
(-5 4 -1)

Tipset på uppgiften är att man skall först flytta den obekanta matrisen X till det vänstra ledet och bryta ut den. Sedan fullständigt lösa matrisekvationen BX = 0

Skulle vara så tacksam för hjälp!

Skriv om som

AX = 3IX

sen

AX - 3IX = 0

sen

(A - 3I)X = 0

och lös detta. I är 3x3-enhetsmatrisen.

Ja vi har kommit så långt..

(4 5 -1) (3 0 0)
(4 -6 5) - (0 3 0)
(-5 4 -1) (0 0 3)

=>

(1 5 -1) (x1) (0)
(4 -9 5) (x2) = (0)
(-5 4 -4) (x3) (0)

=

1 5 -1 | 0
4 -9 5 | 0
-5 4 -4 | 0

...

Gauss-(Jordan-)eliminera på bara!

Börja med att addera rad 2 till rad 3 så blir ekvationen rätt spännande!

(1 5 -1)
(4 -9 5)
(-1 -5 1)

Jo, jo..
Men jag förstår verkligen inte hur jag ska få fram mina x från det?

1 5 -1 | 0
4 -9 5 | 0
-5 4 -4 | 0

r3 + r2
~
(1 5 -1)
(4 -9 5)
(-1 -5 1)

r3 x (-1)
~
(1 5 -1)
(4 -9 5)
(1 5 -1)

r3 - r1
~
(1 5 -1)
(4 -9 5)
(0 0 0)

=>

(1 5 -1)
(4 -9 5)

Jag kan inte få ut pivoter av det här heller och vet inte hur jag ska få ut mina x..

Hur skulle du göra när du kommit till att en rad är lika med noll?

:$

Lösningen kommer inte vara unik (om matrisen var kvadratisk från början), så du inför en parameter t och sätter t.ex. z = t. Orkar inte förklara i detalj, men detta borde gås igenom väldigt grundligt i din kursbok.

Det du har fått är en linjärt beroende matris.
Du har

(1 5 -1)
(4 -9 5)
(0 0 0)

Vi omvandlar tillbaka till ekvationssystem:

x1 + 5x2 - x3 = 0
4x1 - 9x2 + 5x3 = 0
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

==>

Nu ser vi att vi har ingen ekvation för x3. Dvs, x3 är godtycklig. Vi kan välja denna till vad vi vill.
Så sätt x3 = t eller vad du vill, eller behåll det som x3 om du vill. Eliminera resten av systemet och uttryck x1 och x2 som linjärkombinationer av x3.

Kolla lite på linjära ekvationssystem och linjärt beroende i din bok för lite mer info.