Vektorer igen

Finns det nått riktigt bra sätt att göra en uppgift av detta slaget:

om P = (-1,-2,5) och Q = (-4,-4,-5)

Bestäm den punkt Z på linjen genom origo och P som ligger närmast Q.

Linjen blir L = t(-1,-2,5) där t∈ℝ. Om vi drar en vektor från en punkt Z på L till punkten Q, så definierar vi v = ZQ = (-4,-4,-5) - t(-1,-2,5) = (t-4,2t-4,-5t-5). Om nu Z ska vara den punkt på L som är närmast Q, så måste riktningsvektorn till L vara ortogonal mot ZQ, det vill säga att skalärprodukten måste vara 0.

(-1,-2,5)•(t-4,2t-4,-5t-5) = 0
Lös ut t och sätt in i linjens ekvation så har du punkten.

Skapa först och främst linjen L som går igenom origo (eftersom den går igenom origo behöver vi ingen ortsvektor för att orientera linjen L). Vi behöver först dess riktningsvektor, och då passar det ju utmärkt att ta de två punkter vi redan känner till, nämligen origo och (-1 -2 5)

OP = (-1 -2 5) - (0 0 0) = (-1 -2 5)

L: (x y z) = t·(-1 -2 5), t ∈ R

Dra nu en vektor från en godtycklig punkt som ligger på linjen, till punkten Q. För enkelhetens skull kan vi ju välja origo.

OQ = (-4 -4 -5) - (0 0 0) = (-4 -4 -5)

Om du projicerar denna vektor på linjens riktningsvektor kommer du få komponenten av vektorn OQ som ligger parallellt med linjens riktningsvektor. Denna ortogonalprojektion börjar i origo och har sin spets ortogonalt nedanför punkten Q. Denna punkt som du kallar Z är alltså den punkt som ligger närmst Q på linjen.

Ok tack för det, hjälpte massor