Ortogonal projektion

Uppg. lyder: tve vektorer och dess längder a=2 och b=3 (vinkeln mellan dem är 60grader). Bestäm den ortogonala projektionen av a på b och tvärt om...

Känns som att den ska vara enkel men jag får inte samma resultat som facit på någon av projektionerna... frustrerande. Hjälp tack

b/|b| * a = |a||b|cos 60° / 3, detta är beloppet av den projektionsvektor du söker. För att få rätt riktning tar du väl bara detta belopp multiplicerat med normerade b, dvs b/|b| ->

|a||b|cos 60 / 3 * b/|b| = 2*3*1/2 / 3 * b/3 = b/3, var det samma som du fick?

Alltså jag är rätt ny på detta så du får ursäkta men jag hängde inte riktigt med där.

fick du alltså fram nu att proj. av a i b är b/3? och det skulle bli 1? är jag helt ute å cyklar nu, det känns nämligen så.

har jag fattat det rätt att i frågan står det bara beloppen, alltså mängden av a och b och inget annat (tänker så eftersom det står längden av vektorerna? Vad är då skillnaden mellan a och |a| i detta fallet?

blandar förmodligen ihop begrepp och vill gärna få det uppklarat

Då tar vi det lite mer från början En vektor är som bekant en riktad storhet. Detta innebär helt enkelt ett värde på nånting (kan vara en kraft, en acceleration, en hastighet etc) som är riktad (med detta menas att vektorn bestäms BÅDE av sin storlek och riktning). "Motsatsen" till vektor är en skalär, som bara har en storlek. Exempel är en viss temperatur, som man ju inte kan bestämma nån speciell riktning på

Om vi har en kraft som är 5 Newton stor så är den ju alltid riktad (kan vara mot nånting t ex). Med vektorns BELOPP menar man just storleken på kraften, dvs 5 N i detta fall. Andra ord för belopp i detta sammanhang är absolutbelopp, storlek och längd. Anledningen till sista benämningen, dvs längd, är att när vi ritar vektorer som pilar på ett papper så låter man dess längd (3 cm t ex) representera dess storlek/belopp/absolutbelopp. En vektor som är dubbelt så lång som en annan på papperet (6 cm t ex) har då dubbelt så stort belopp. Har en 3 cm lång vektor 5 N storlek får den som är 6 cm 10 N. Alltså: belopp=absolutbelopp=längd

När det står a eller a med streck över (pil) menas vektorn i sin helhet, alltså både storleken (beloppet) OCH dess riktning. Däremot anger beteckningen |a| beloppet. |a| är alltså bara ett vanligt tal, t ex 5 N eller 7 m/s. Man talar så vitt jag vet aldrig om "mängden" av en vektor, utan det du syftade på var nog beloppet (storleken/längden/absolutbeloppet).


Nja, för det första heter det proj. av a PÅ b och japp, jag fick fram att den var b/3 MEN detta blir INTE 1. 1 är bara ett tal och ingen vektor. Vi söker en vektor. Projektionen av a på b är komponenten av a som "ligger utmed" b. Rita upp bägge vektorerna (utgående från samma punkt) och dra en linje från spetsen på a till nånstans utmed b. Vinkeln mellan denna linje mellan vektorerna och "b-vektorlinjen" ska vara rät -> där linjen skär "b-vektorlinjen" är spetsen på projektionen. Kolla i din kursbok!

b har som bekant 2 komponenter och det är beloppet som är 3. Beloppet fås genom pythagoras sats på dess komponenter. När man dividerar en vektor med dess belopp som jag gjorde b/|b| får man en s k normerad vektor. Det är en vektor med beloppet 1 (du ser det om du beräknar beloppet).

Det jag gjorde var följande: Jag normerade först b så att dess belopp blev 1. Sen tog jag skalärprodukten av normerade b och a. Då får man BELOPPET av projektionen av a på b eftersom skalärprodukten ju är beloppen gånger varann multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan (rita upp så ser du!). Nu kom jag precis på att det hade räckt att ta cos(60°)*|a|, dvs inte hålla på och tjafsa med skalärprodukt. Detta gav oss alltså beloppet av vår sökta projektion (vektor).

För att få rätt riktning multiplicerar vi beloppet (som ju är längden) med en normerad vektor som har samma riktning som vår projektion vi vill ta reda på. Denna riktning är ju precis samma som för b -> vi normerar b, det blir b/|b| och tar den multiplicerat med beloppet vi fick ovan, dvs cos(60°)*|a|

Allt som allt råkade det bli |b|/3 tror jag. Är det nåt i min beskrivning du undrar över?

Hmm, fanns det ingen förenkling av projektionsformeln så det bara var att stoppa in?
Det fanns väl också någon mer formel som var användbar ibland också?

Nja, syftet här är väl snarare att förstå. Problemet är så enkelt i sig att det inte ska behövas nån formel. Detta är lite "allmänbildning" på teknisk högskolenivå. Själv kommer jag inte ihåg det exakta utseendet av projektionssatsen (vet dock var jag har den i min algebrabok ). Det gäller att bli väl bevandrad med vektoralgebran på ett tidigt stadium så blir allt så mycket enklare sen..

Ok jag hänger inte riktigt med ändå så jag får göra detta från början, mycket irriterande. Känner att vektoralgebran har blivit lidande när jag fokuserat på fysik och analys. Bara det att jag har riktigt svårt att greppa just detta, och det gör mej nått så fruktansvärt frustrerad. hjälper inte direkt att min kurslitteratur är skriven av en idiot.

Ok men låt oss säga såhär, använder man sig av enkel trigonometri så får man fram att beloppet av proj. som bör va 1 men eftersom den inte är riktad så skriver man b/3 som också har beloppet 1. men skillnaden är nu att svaret också blir riktat parallellt med b. det är vad jag kom fram till från början men jag vill kunna använda mej av det rätta resonemanget.

EDIT: Fattar jag rätt nu: b(hat? vet inte hur man skriver)*|a|*cos(60)

Men svaret säger som du b/3.... men skulle man inte också kunna skriva 1*(1,0,0), där (1,0,0) är b/|b|?

Wohoo jag tror att jag fattar... Underbart, tack för din stora hjälp!