Logartim med olika baser?

Lös ekvationen:
log2(x - 1) = log4(x + 5)

Dessa två logaritmer har olika baser... jag har försökt med olika metoder men lyckas inte få ut skiten!

Använd logaritmlagarna:
Hint 4 = 2^2

Då blir ekvationen

x-1 = (x+5)^2

x-1 = x^2 + 10x + 25

x^2 + 9x + 26 = 0

Detta ger komplexa rötter vilket inte är svaret

log₄(x) = log₂(x)/log₂(4) = ½log₂(x)

Detta enligt logaritmlagen som säger att log_a(x) = log_b(x)/log_b(a).

PS: Smidigare lösningsmetod är att upphöja 4 med båda led.

4^log₂(x-1) = x+5

Betrakta VL. 4^log₂(x-1) = (2²)^log₂(x-1) = 2^(2log₂(x-1)) = (2^log₂(x-1))² = (x-1)²

Vi har alltså (x-1)² = x+5

Tack! fick ut det nu

Betrakta:
log2(x) = lb(x)

Byter bas:

log4(x+5) = lb(x+5)/lb(4) = lb(x+5)/2

Löser:

lb(x-1) = log4(x+5) ⇔
lb(x-1) = lb(x+5)/2 ⇔
2lb(x-1) = lb(x+5) ⇔
lb(x-1)² = lb(x+5) ⇔
2^(lb(x-1)²) = 2^(lb(x+5)) ⇔
(x-1)² = x+5 ⇔
x²-2x+1-5-x = 0 ⇔
x²-3x-4 = 0
⇔
x₁ = -1
x₂ = 4

logaritmen är bara definierad för tal större än noll, därför gäller endast x₂ = 4 som lösning.

Svar:

lb(x-1) = log4(x+5)
⇔
x = 4