Envariabelanalys

Hej! Behöver akut hjälp med 2 upgpifter.

-----------

(Sin(Nx)/sin(x))^2 ---> N^2 då x --> k*PI, för varje heltal k

Hur inser man det? Visa gärna med steg.

------------

Beräkna

2*(2^(1/2))*(2^(1/4))*(2^(1/8))...*(2^((1/2)^n))

------------

Mkt tacksam om någon tar sig tid och hjälper till under kvällen!

2*(2^(1/2))*(2^(1/4))*(2^(1/8))...*(2^((1/2)^n)) = 2^(1+0.5+0.25+...+0.5^n)
Exponenterna är alltså en geometrisk serie med kvot 0.5. Vi kan sen beräkna denna med:
1/(1-q) = 2. Alltså 2^2=4

Ska kika igenom ditt svar! tack.

Någon som kan hjälpa till med det andra talet?

Edit: tänkte lite snett, tar bort så ingen får för sig att det som stod här stämde...

Hej!

(Sin(Nx)/sin(x))^2 = sin²(Nx) / sin²(x)

Gränsvärdet blir på formen: (0/0)

l'Hôpitals regel ger:

2sin(Nx)*cos(Nx)*N / 2sin(x)*cos(x) =
sin(2Nx)*N / sin(2x) = (0/0)

Resten klarar du säkert själv!

/Tomas

Hej Tomas (eller annan)! Går det att lösa den utan L'hospitals regel? (vi har ej gått igenom denna än utan är i början av kursen, söker således en simpel lösning...)

Förstår tanken med kvoten, men ser inte hur "1/(1-q) = 2. Alltså 2^2=4" räcker? n-värdet är ju obekant (oändligt?)

Förstått lösningen av den geometriska serien!

Kvarstår gör frågan om hur man på enklast möjliga sätt (inledningen av envariabelanalys) inser:

(Sin(Nx)/sin(x))^2 ---> N^2 då x --> k*PI, för varje heltal k

Hur inser man det? Visa gärna med steg.

Tack på förhand.

Helt onödigt att lösa med geometriska serier.

Vi börjar:

sin(Nx)/sin(x) = (sin(Nx)/1)*(1/sin(x)) = (Nx*sin(Nx)/Nx)*(1/sin(x))

Vi vet genom standardgränsvärde att, sin(Nx)/Nx går mot 1 för varje kπ, eftersom sin(kπ) = 0 för varje heltal k.

(Nx)*(1/sin(x)) = Nx/sin(x) = (sin(x)/Nx)^-1 = ((sin(x)/x)*(1/N))^-1

Ett till känt standardgränsvärde: sin(x)/x som går emot 1 när x går mot noll, vilket den gör för varje kπ.

(1/N)^-1 = N

Sedan hade vi ju kvadrering i slutet också, jag orkade inte ha med den i alla räknesteg, men känner man till räknereglerna för gränsvärden vet man att detta går att göra i slutet, annars gäller ju bara allmänna räkneregler.

Svar: (sin(Nx)/sin(x))² --> N² när x --> kπ, för alla heltal k.