Behöver hjälp med några kluriga matteupgifter. Funktioner, derivering och integraler

Hej!
Jag har några kluriga övningsuppgifter som jag inte förstår mig på.
Jag skriver ut dem i sin helhet och skulle väldigt gärna få se era uträkningar och svar på dem.

1. Vinstfunktion: V(q)= 8q – 0,005q^2 – 1000 (enhet kronor).
q anger antal tillverkade produkter per dag.

a) Beräkna marginalvinsten. När negativ, när positiv?
b) Hur många produkter borde tillverkas per dag för att maximera vinsten?
c) Hur stor är den maximala vinsten?

2. Bestäm alla kritiska punkter till följande funktioner. Använd sedan andraderivatan för att (om möjligt) klassificera punkterna.

a) f(x,y)= x^2 + 2y^2 – 4x + 4y

b) g(x,y)= x^3 + y^3 – 3xy


3. f(t) är hastigheten som vatten pumpas ur en brunn vid tidpunkten t.

f(t) = 10*e^-2t t större eller lika med noll

Låt x(t) ange mängden vatten som finns kvar i brunnen vid tidpunkten t och låt x(0)=x0 (x med index noll). Dvs. brunnen innehåller mängden x0 då t=0

a) Skriv ett uttryck för x(t)
b) Under vilka förutsättningar blir brunnen aldrig tom?




Tusen tack för hjälpen!

Vilken mattekurs läser du?

Börjar med att ge dig hjälp med den första uppgiften, den andra har jag glömt bort hur man löser.

1a) Marginalvinsten fås när V(q) = 0
Du får här ett värde på q och gör ett enkelt teckenschema för att se när V(q) är negativ respektive positiv.

b) Derivera. Sätt v'(q) = 0

c) Sätt in det värde på q som du fick i uppgift b) i funktionen V(q)

//Tuffhaggman

Ges inte marginalvinsten av derivatan V'(q) ?

Mitt huvud var någon annanstans, du har helt rätt.

Okej, tack för hjälpen båda två.

Har nu gjort ett försök att lösa uppgift 1. Granska mig gärna och säg om det är något som är fel eller om allt är korrekt.

1.
a)
marg.vinst ges av V'(q)= 0 ----> V'(q)= 8 – 0,01q = 0

8 / 0,01 = 800 -----> q=800 (per dag)

marg.vinst positiv när q < 800
marg.vinst negativ när q > 800
marg.vist noll när q = 800

b)
V'(q)= 8 – 0,01q = 0
v''(q)= -0,01 ------> negativ och det betyder att man hittat en max.punkt.

c)
Maximal vinst: V(800)= 8*800 – 0,005*800^2 – 1000 = 2200 kr/dag är max.vinst


Ser allt detta korrekt ut?

Hej igen alla!

Någon som har en kommentar till min lösning på fråga ett eller kan visa mig hur man räknar ut de andra uppgifterna?

Skulle vara till mycket stor hjälp!

δf/δx = 2x - 4
δf/δy = 4y + 4

Ekvationssystem för stationära punkter

2x - 4 = 0 ⇔ x=2
4y + 4 = 0 ⇔ y =-1

(2,-1) är den enda stationära punkten

δf''_xx= 2
δf'_yy = 4
δf''_xy = 0

Klassificieringen av punkten (2,-1) görs med den kvadratiska formen

Q(h) = ∑f''_(jk)(2,-1)(h_j)(h_k) (från j,k → n) = f''_xx(2,-1)h_1 + 2f''_xy(2,-1)h_1h_2 + f''_yy(2,-1) = 2 + 0 + 4 = 6

Q(h) > 0 ⇔ f lokalt max i (2,-1)

Hoppas det går att förstå, tog mina sömntabletter för en stund sen så är inte helt klar i huvudet. Andra uppgiften görs precis likadant. Förbehåller mig för eventuella fel.

a) x(t) = x0 - int_0^t f(t) dt
Det vill säga startvärdet minus den sammanlagda mängd vatten som tömts ur brunnen fram till tidpunkt t. Kanske kan bli lite förvirrande med variablerna så om du vill kan du byta ut int_0^t f(t) dt mot int_0^t f(v) dv exempelvis.
b) Brunnen blir aldrig tom om x0 > 5 eftersom integralen int_0^inf f(t) dt = 5 dvs den maximala mängd som kan tömmas från brunnen.

Fel fel fel! För att göra det lite tydligare sätter jag h_1 = h, h_2 = k

Q(h) = f''_xx(2,-1)h² + 2f''_xy(2,-1)hk+ f''_yy(2,-1)k²= 2k² + 0*hk + 4k² = 2(h² + 2k²)

Q(h) > 0 ⇔ f lokalt min i (2,-1)

Hej!

Tack för alla hjälp. Jag tror jag har allt under fund nu förutom 2. b). Jag blir osäker när man har en tredjegradens funktion.

Någon som snälla kan visa uträkningen på den?

MVH
Lanazz

Du gör likadant som i a).

g(x,y)= x^3 + y^3 – 3xy

g'_x = 3x² - 3y = 3(x²-y)
g'_y = 3(y²-x)

Ekvationssystemet för de stationära punkterna blir

x²=y
x = y²

x,y ≥ 0

⇔

y^4 = y², x^4 = x², som uppenbart bara har rötterna (1,1) och (0,0)

Nu till klassificeringen av punkterna (1,1) och (0,0)

g''_xx = 6x
g''_xy = g''_yx = -3
g''_yy = 6y

(1,1)
Q(h,k) = g''_xx(1,1)h² + 2g''_yx(1,1)hk + g''_yy(1,1)k² = 6h² - 6hk +6k² ⇔ h²-hk+k²

h²-hk+k² = (kvadratkomplettering) = (h-(1/2)k)² + k² - (1/4)k² = (h-(1/2)k)² + (3/4)k²

(0,0)
Q(h,k) = g''_xx(0,0)h² + 2g''_yx(0,0)hk + g''_yy(0,0)k² = -6hk

Sorry, jag må vara jävligt trögfattat men jag förstår fortfarande inte 2. b)

Det där ni kvadratkomplettering har jag inte hört nämnas på kursen.

Däremot använder läraren något som ser ut så här:

D= fxx*fyy – fxy^2

Om D > 0 och fxx > 0 är det en min.punkt.
Om D > 0 och fxx < 0 är det en max.punkt.


Så här är min uträkning hittills:

g(x, y)= x^3 + y^3 – 3xy

gx'(x, y)= 3x^2 + 3y = 0
gy'(x, y)= 3y^2 + 3x = 0

x^2 = y
y^2 = x

Detta verkar bara vara möjligt om x och y = 1 eller 0 (men jag kan inte bevisa det)

Andra derivatatest:

gxx(x, y)= 6x
gxy(x, y)= -3
gyy(x, y)= 6y

(1, 1) D= (6*1)*(6*1)–(-3)^2 = 27 > 0, gxx > 0 ---> min.punkt
(0, 0) D= (6*0)*(6*0)–(-3)^2 = -9 < 0, gxx = 0 ---> ???

i mina papper står inget om vad som gäller när gxx=0

Snälla hjälp! Har snart tenta på det här :S