Kombinatorik!

Behöver hjälp med en uppgift,

Hur många olika bokstavsföljder om åtta bokstäver kan man bilda med bokstäverna i ordet MINIGOLF? Hur många av dessa innehåller varken följden NOG eller följden FIN någonstans i bokstavsföljden?

Något snille som kan lösa den här uppgiften?

Då varje plats i ordet kan anta 7 olika bokstäver, så borde ju antalet bokstavskombinationer vara 7 upphöjt till 8. Alltså 7^8 = 5764801 = 5,76*10^6

Eller det kanske är helt fel men det är så man göra i digitaltekniken iallafall

Vi delar upp uppgiften i flera uppgifter:

a) Hur många olika bokstavsföljder om åtta bokstäver kan man bilda med bokstäverna i ordet MINIGOLF?

Om alla bokstäverna hade varit unika så hade svaret enligt multiplikationsprincipen varit 8!... men nu förekommer I två gånger och hur många sätt kan dessa permuteras om de varit unika? Jo, 2!.

Svar: 8! / 2!

b) Hur många av dessa innehåller varken följden NOG eller följden FIN någonstans i bokstavsföljden?

Delar upp denna uppgift i fall:
Fall 1: NOG förekommer: (8-3+1)!/2! = 6!/2!
Fall 2: FIN förekommer: (8-3+1)! = 6!
Fall 3: Både NOG och FIN förekommer: (8-6+2)! = 4!
Fall 4: Alla förekomster: 8!/2!

Svar: 8!/2! - (6!/2 + 6! - 4!) (kan lätt ses om du ritar upp ett venndiagram)

Det hade varit korrekt om ord såsom IIIIIIII, MINIMINI och GOOOOOGL hade varit tillåtna.


Vi börjar med att behandla de två I:na som olika bokstäver. Då får vi 8! olika ord.
Sedan plockar vi bort distinktionen mellan dem. Då skall vi dividera med 2!.
Alltså får vi 8!/2! = 20160 olika ord.

Varför delar man fall i 2! ?

Därför att det finns 2! sätt att permutera I1 och I2.

När vi räknar I1 och I2 som olika får vi med både ord på formen a(I1)b(I2)c och a(I2)b(I1)c, där a, b och c är följder av bokstäver. Dessa skall dock båda ses som aIbIc, så vi dividerar med antalet permutationer som finns av (I1, I2), vilket är 2!.

Såg nu att jag skrev fel i frågan jag ställde. Jag undrar varför man i fall 1 dividerar med 2!. Det svar du gav förstår jag.

/ Balka

Någon?