Komplexa tal

Har denna kvar.

Använd räkneregeln arg(z·w) = argz + argw.

Därmed gäller arg(iz) = argi + argz = π/2 + π/4 = 3π/4.

Hur härleder man likheten för |z|^2 = zz* (där z* är det komplexa konjugatet z) ?

Om man utgår ifrån att |z|=sqr(x^2+y^2) => |z|^2 = x^2+y^2 , så skulle man kunna tänka sig kanske att z representerar x i det här fallet och y representerar x*.

Men i sådana fall skulle vi få |z|^2 = z^2*z*^2, och det stämmer ju inte.


--------------------------------------

Sedan skulle jag också behöva hjälp med att finna det komplexa konjugatet till z= (cos(pi/4)+ isin(pi/4)). Det skall skrivas i poplär form precis som ovan.

Uppgiften är att jag skall multiplicera z med dess konjugat genom att multiplicera absolutbeloppen och addera agrumenten.

Låt z = x + iy, x och y reella. Då är z* = x - iy, och zz* = (x+iy)(x-iy) = x² + y² = |z|².


Finns väl två sätt att göra det på. Ett är att känna till att om z = x+iy så är z* = x-iy, så du får z = cos(π/4) - isin(π/4), och sedan försöker du använda trigonometri för att skriva om det här på rätt form.

Ett annat är att helt enkelt veta att, i polär form, om z har beloppet r och argumentet θ, så har z* beloppet r och argument -θ. (Detta är enklast att se om man tänker sig konjugering som reflektion i reella axeln i det komplexa talplanet.) Då får du argumentet och beloppet på z* direkt, och kan skriva ner det i polär form.

Hej, har precis börjat med komplexa tal och ska förenkla (1/i)-(1/i^5). Någon som har lust att visa hur man ska gå tillväga?

(1/i)-(1/i^5) = (i^5)/(i^5) = 0/i^5 = 0

Det var fel enligt min bok -2i.

Behöver hjälp med att lösa följande uppgift!

Beräkna zz* om,

z=2(cos120+isin120)

z*=2(cos120+isin120)

zz*=4(cos(240)+isin(0))=4*-0.5=-2

Men enligt facit så skall det bli 4?

Varför ska det bli 0 det ska väll bli 240 där med?

hm..

z=2(cos(120)+isin(120))
z*=2(cos(120)-isin(120))

Beloppen multipliceras och argumenten adderas! Jag får det till:

zz*= 2*2(cos(120+120)+isin(120-120)
= 4(cos(240)+isin(0)
= 4(-0.5+i0)=-2

ser inte vad jag gör för fel!

Trodde man plussade ihop vinklarna på både cos och sin i multiplikation och minus i division, annars har jag lärt mig fel på dagens genomgång.

EDIT

Såg inte minuset innan isin på z*.

arg z = v
arg z* = -v

Tänk på att cos(v) = cos(-v) eftersom det är en symmetrisk(jämn) funktion.
Och att sin(-v) = -sin(v) eftersom det är en ojämn funktion.

z = 2(cos120+i*sin120)
z*= 2(cos-120+i*sin-120)
z*= 2(cos(120)-i*sin120)

substituerar cos(120) med c och sin(120) med s, då det blir lättare att räkna.

zz* = 2(c+is)*2(c-is)
zz* = 4(c+is)(c-is)
zz* = 4(c+is)(c-is) = 4(c²+s²)

Här kan vi se trignometriska ettan. 4*1 = 4

Svar: 4