MA D vinklar/tid

Jag har inte riktigt förstått hur man ska härleda följande uppgift från boken; Ett fartyg med konstant hastighet åker i nordostlig riktning siktar man kl 8:00 en fyr i en riktning som från norr avviker 20grader mot öster. En timme efter ser man fyren rakt i norr. hur dags kan man vänta sig att se fyren rakt i väster?

Jag har gjort så att det fartygets riktning bildar en triangel med sidan kl.8-9 och vinkeln 20grader men jag vet inte hur man ska tillämpa klockslagen som längder..

Från kl 8 till kl 9 är en timme. I princip skulle man kunna se 1 timme som längden, men det är mer korrekt att multiplicera tiden med farten. Nu vet man inte farten, men då sätter man den till en symbol, förslagsvis v. Längden är alltså 1v. Den sökta längden kan man då sätta till xv, varvid det sökta tidsintervallet blir x timmar.

Hinner inte just nu, men har gjort en bild i alla fall:
http://i53.tinypic.com/pu34.jpg

Man skall alltså, beräkna sträckan OA.

Jag förstår inte riktigt till 100% vad bilder illustrerar^^ skulle uppskatta om någon kunde förklara lite mer utförligare hur jag ska gå tillväga.

Rakt upp är norr, rakt till höger är öster. Uppgiften säger att man ser en fyr som är 20 grader åt öster ifrån noll. Alltså där jag har skrivit 20 grader på det översta gröna strecket. Där är fyren.

Efter en timme, där jag har dragit det blåa strecket så är fyren rakt norrut, som det står enligt uppgiften. Det illustrerade jag med ett lila steck som går rakt norrut, eftersom efter en timme så var fyren rakt norrut.

Frågan var då, när har båten åkt så långt att fyren är rakt västerut? Dvs att båten, med samma riktning och fart har åkt såpass långt att man ser fyren direkt till väster om båten. Detta inträffar då i punkt A och det har jag illustrerat med den lila linjen.

Man skall alltså räkna ut hur lång sträckan är ifrån O till A, alltså sträckan OA. För vi ser ju att i punkt A, när båten har åkt nordost(45 grader) så är fyren direkt till väster.

En ny bild då, har tagit mig lite mer tid nu. Det är en ganska svår uppgift för Ma D kan jag tycka. Hade varit lättare om man fick nyttja linjär algebra.

http://i56.tinypic.com/2lbjodf.jpg

u är lika med 20, det är bestämt i uppgiften, eftersom fyren var vinklar u (alltså 20 grader). z är lika med 25 grader, eftersom 45-20 = 25. Vi visste ju att båten åkte direkt åt nordost, alltså 45 grader enligt enhetscirkeln. Då kan man dra vissa slutsatser om hur z+u bildar i princip alla vinklar i hela figuren som jag har ritat. Vi vet också att vinkelsumman i en triangel måste vara 180 grader.

FD = EH = 1/√2
∠AFD = 4z+4u-z-u-u = 3z+2u

(180 grader minus de andra vinklarna måste vara den tredje i en triangel, eftersom vinkelsumman är 180 grader)

Nu skall jag räkna på triangeln längst nere till höger, alltså ∠AFD:

sin(20) = (1/√2)/AF
AF = (1/√2)/sin(20)

Enligt pythagoras sats:

((1/√2)/(sin²(20)))²-(1/√2)² = AD² ⇔
(1/2)/(sin²(20))-1/2 = AD² ⇔
1/(2*sin²(20))-1/2 = AD² ⇔
2/(4*sin²(20))-(2*sin²(20))/(4*sin²(20)) = AD² ⇔
(2-2*sin²(20))/(4*sin²(20)) = AD² ⇔
(1-sin²(20))/(2*sin²(20)) = AD² ⇔
(cos²(20))/(2*sin²(20)) = AD² ⇒
cos(20)/(√(2)*sin(20)) = AD

Sidorna:

AH = FD = EH = 1/√2
AD-AH = HD = EF ⇔
cos(20)/(√(2)*sin(20))-1/√2 = EF
(cos(20)-sin(20))/(√(2)*sin(20)) = EF

Till kvadraten längst uppe till höger:

EF = (cos(20)-sin(20))/(√(2)*sin(20)) = FC

Eftersom det är en kvadrat är sidorna lika långa.

Enligt pythagoras sats:

EF²+FC² = EC²

Med hjälp av pythagoras sats kan man visa att en diagonal i en kvadrat alltid är roten ur två gånger längre än en sida i kvadraten. Så jag nyttjar det.

(√(2))*(cos(20)-sin(20))/(√(2)*sin(20)) = EC ⇔
(cos(20)-sin(20))/(sin(20)) = EC

Vi ville veta sträckan AC:

AC = AE+EC = 1+(cos(20)-sin(20))/(sin(20))
1+(cos(20)-sin(20))/(sin(20)) = AC ⇔
(sin(20)/(sin(20))+(cos(20)-sin(20))/(sin(20) = AC ⇔
cos(20)/sin(20) = AC ≈ 2.74

Svar:

2.74 timmar

Fan va lätt svaret blev, det kanske går att lista ut det på ett lättare sätt men det orkar jag inte fundera på nu. Fan va tid det tog, hoppas du är nöjd med svaret. Ställ gärna frågor om någon del är oklart.

Mvh BengtZz

Från skutan, som har nordostlig kurs O->Q, siktas kl 8:00 fyren, F, 20º öst om nordlinjen ON. En timme senare, då skutan passerar punkt P, syns fyren rakt norrut. Punkt Q passeras när fyren syns rakt västerut - se figur:

http://img185.imageshack.us/i/kursno.png/

Vi söker "stäckan" OQ i fig, då OP = 1h är given. Ur triangeln PQF fås

PQ = √2·PF

Sinussatsen på triangeln OPF ger sedan

PF /sin25º = OP /sin20º => PF = 1·sin25º/sin20º

Alltså

PQ = √2·sin25º/sin20º = 1,75 h = 1h 45min

OQ = OP + PQ = 2h 45min

dvs fyren siktas rakt västerut kl 10:45.

Jag förstod och relaterade till de analyser jag hade gjort innan. Tack det hjälpte oerhört mycket^^ även jag fick estimationen att fartyget kan siktas runt klockslaget 10:45...