Logaritmfunktion, hjärnsläpp!

Tjena!

Sitter och klurar lite på en logaritmlag som jag inte riktigt får ihop logiskt, så nu tar jag till hjälp!
Lagen är denna:

log s^t = t log s

Tänkte inte mycket på den innan jag stötte på följande uppgift:

Förenkla:
½ ln 100 – 2 ln 2

Löser man den m.h.a. lagen är den simpel:
½ ln 100 – 2 ln 2 ⇔ ln 100^1/2 – ln 2^2 = ln 10 – ln 4 ⇔ ln 10/4 = ln 5/2

Men när jag gjort den så kom jag att tänka på hur jag förmodligen hade skrivit den om jag inte viste om lagen. Det hade då antagligen blivit så här för den första termen:
½ ln 100 ⇔ ½ e^x = 100 ⇔ e^x = 200 ⇔ ln 200

Detta ger uppenbarligen fel resultat då det hade blivit 0 i nämnaren (ln 200/0) om man förenklat båda termer så långt det går på detta sätt. Saken är den att jag inte kan få detta ur skallen nu. Jag förstår att det är fel att skriva:
½ ln 100 ⇔ ½ e^x = 100
.
Men eftersom ln 100 ⇔ e^x = 100 så ser det vid första anblick ut som om ovanstående borde gälla, men gräver man djupare så upptäcker man att så inte är fallet, utan att det egentligen står:
½ ln 100 ⇔ ½ (e^x = 100) Eller har jag fått det helt om bakfoten nu?

Hur som helst, min slutgiltiga fråga:

Hur får man log s^t = t log s ? Antar att det är ett uppenbart logiskt bevis eftersom jag inte sett beviset skrivet någonstans, men för tillfället kan jag inte komma på det

Tack på förhand!

Läs http://en.wikipedia.org/wiki/Logarit...thm_of_a_power

För det första är ½ ln 100 ⇔ ½ e^x = 100 ett väldigt konstigt påstående eftersom att uttrycket till vänster om ekvivalenspilen är en konstant.
log s^t = t log s :
Bevisar det med en annan logaritmregel (och förskjuter eventuellt därmed bara problemet till beviset av en annan sats):
log(s^t) = log(s*s*...*s) (t gånger) = log(s) + log(s) + ... + log(s) (t gånger) = t*log(s)

Tack för svaren! Men hjärnsläppet släppte och jag lyckades bevisa skiten Tråden kan låsas!

½ ln 100 – 2 ln 2 ⇔
ln(100^(½))-2ln(2) ⇔
ln(10)-2ln(2) ⇔
ln(5)+ln(2)-2ln(2) ⇔
ln(5)-ln(2) ⇔
ln(5/2)

½ln(100)–2ln(2) = ln(5/2)