Linjär avbildning - Spegling

Bestäm matrisen för den linjära avbildning som speglar planets vektorer i linjen:

L: x-2y = 0

Som jag har fattat det så beräknar man först projiceringsmatrisen, eftersom två stycken projiceringar minus vektorn a som skall speglas är punkten där vektorn a:s "slutpunkt" har speglats.

Vad jag har greppat hittils, om det är rätt som jag har uppfattat det är att:
Om vektorn v är den normerade riktningsvektorn för linjen L så är v·v^t = projiceringsmatrisen för linjen L. (2P-I) 2 projiceringar minus enhetsmatrisen är speglingsmatrisen för alla linjer i planet. Vad gör jag fel? Är det fel? Oberoende om jag har tolkat allt fel så vill jag gärna se hur ni löser uppgiften även om ni inte gör som jag har tänkt. Om ni förstår vad jag menar, och det jag menar är rätt så lös den gärna som jag hade tänkt lösa den.

Tack på förhand!

Mvh

Ditt resonemang är helt riktigt.

Vad exakt söker du? En motivering för formeln 2P - I? För formeln P = vv^t? Svaret på uppgiften? En lösning med siffrorna du hade förutsatt att man får anta att formlerna att speglingen är 2P - I med P = vv^t?

Projicera v på vektorn (2,1).

Då är (v - proj_(2,1) v) den komposant av v som är vinkelrät mot linjen.

Spegling:
proj_(2,1) v - (v - proj_(2,1) v)

Utav detta är det enkelt att konstruera en matris.

Okey bra! Då är jag inte helt lost.

Ja fan va nice, nu fattar jag. Jag skall ju substituera cos(α) mot 2/√3 och sedan bara räkna på. För jag vill ju ha ett numeriskt värde för matrisen.

Linjära avbildningar är nog det enda område som det allmänna fallet är lättare att beskriva än det specifika. xD