Hjälp och tolkning av vektorer.

Jag har en punkt (1,-1,0) där jag ska räkna ut det kortaste avståndet till planet x + y + 3z = 5.
Vad jag förstått så måste ju kortaste avståndet vara när planet är vinkelrätt mot punkten, men hur visar jag detta på bästa sätt?


En till uppgift består i att bestämma alla vektorer som är vinkelräta mot vektor u=(-1,0,1) och v=(-3,2,-1). Jag kallar den nya vektorn för w, där produkten av w*v och w*u måste vara 0 (skalärprodukt).
Sätter upp de båda i ett ekvationssystem.

-x + z = 0------<=> -x + z = 0
-3x + 2y - z = 0-----<=> 2y - 4z = 0

Sätter här z = t och får ut
x = t
y = 2t
z = t

dvs t(1,2,1)

Längden skall vara 1.
sqrt( t^2 + 4t^2 + t^2) = 1
<=> sqrt(6t^2) = 1
<=> 6t^2 = 1^2 = 1
<=> t^2 = 1/6
<=> t = +-(1/sqrt(6))

Därefter blir resultatet w = +-(1/sqrt(6))(1, 2, 1)

Har jag rätt här eller missar jag något? Är typ superviktigt att det blir helt rätt. För övrigt så vet jag ju vad jag gör men förstår inte riktigt geometriskt vad som menas.


Sist men inte minst så har jag en ekvation som ser ut och är löst såhär. Tog en bild då det blir lite otydligt tror jag ifall jag ska skriva allt här.

http://img442.imageshack.us/f/img0061on.jpg/

Vad innebär mitt resultat geometriskt?

Tack på förhand.

Kalla punkten för P och planet för Π.

Låt P vara den unika punkt på Π som har egenskapen att vektorn PQ är vinkelrät mot alla vektorer i planet Π. Det vill säga, den punkt som man träffar om man drar en linjen genom P vinkelrät mot Π. Egentligen så bör man väl visa att denna punkt existerar och verkligen är unik, men vi hoppar det så länge.

Vi vill nu visa att |PQ| är det närmaste avståndet från punkten P till någon punkt på planet Π, eller med andra ord, att om R är en annan punkt i Π så är |PR| ≥ |PQ|.

Men detta är lätt; ty betrakta vektorn QR. Eftersom denna ligger helt i planet Π så är det vinkelrätt mot vektorn PQ. Men då gäller av Pythagoras' sats att |PR|² = |PQ|² + |QR|² och alltså får vi

|PR|² = |PQ|² + |QR|² ≥ |PQ|²

(eftersom |QR|² är en kvadrat är den alltid ≥ 0), och därför är

|PR| ≥ |PQ|

vilket var det vi skulle visa.

Du har inga åsikter på de andra två också?

Ser rätt ut.

Annars kan du också använda kryssprodukten; om u och v är vektorer i R³ så är u × v vinkelrät mot både u och v.


Förstår inte riktigt vad du är ute efter. Något man kan notera är väl att lösningsmängden är en rät linje i R³.

Stort tack för all hjälp, den sistnämnda så menar jag att jag vet hur man räknar ut den men jag vet inte vad den betyder. Tex ifall det är en linje som skär ett plan eller vad det nu kan vara.

Inget svar på sistnämnda ?

Vad ska ekvationerna vara? Om de är

x + y + z = 1
-x + y + z = 0
x - y + z = 1

som jag kan utläsa så är svaret fel.

Nej, på första raden så är det ett minustecken mellan x och y. Är nog bara lite suddludd som gör att det ser ut som ett plustecken.

Aha.

Okej, i så fall är väl tolkningen att det är tre plan som möts, och skärningen blir en linje. Vart och ett av ekvationerna definierar alltså ett plan, och den gemensamma lösningarna till dessa tre ekvationer blir därmed skärningen mellan de tre planen.

Nu råkar två av planen ifråga vara exakt samma plan (nr 1 och 3 är samma ekvation) så därför är det väl mer så att det är två plan som möts. Och då inser man lätt att det i allmänhet borde bli just en linje.